函数的一致连续性及其应用(2)
现有数学分析教材中对一元函数的一致连续性都有阐述 ,而且网络文库也有大量的充分和充要条件的分析,但对函数的一致连续性没有一个系统而全面的整理.对二元函数的介绍,有二元函数在无穷区域上连续与一致连续的关系,以及二元函数一致连续的几个充分条件等内容 ,然而对二元函数一致连续性的四则运算以及一致连续性与偏导数有界 、方向导数有界以及可微之间的关系等重要内容还较少有文献介绍. 还有,做为对数学分析全面提升的泛函分析中, 关于算子一致连续性的讨论就更加少之又少.本文针对以上问题展开阐述.
从文章的结构看,本文的正文部分包括以下内容：首先，主要从概念和几何意义的视角出发，阐释了一元函数一致连续性的本质.其次，主要在常用的判别法基础上,给出了一些判别可导函数一致连续性的判别方法,尤其是建立了一元函数一致连续性的比较判别法,使很多比较复杂的一元函数通过与一致连续性已知的一元函数进行比较,就可以判别出是否一致连续.再次，主要讨论一致连续的二元函数的四则运算,且举例说明：二元函数一致连续性和函数有界、偏导数有界、方向导数有界以及可微之间的关系.进而，主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的相关概念，连续算子成为一致连续算子的两个充分条件, 以及算子一致连续的几个充要条件.从而拓展了数学分析中大家都熟知的一致连续性定理.最后是结束语,是本文写作和修改过程中的感受和收获.
1. 一元函数一致连续性的相关概念和几何意义
1.1一元函数一致连续性的相关概念
定义 设函数 在区间 上有定义, 称 在区间 上连续, 若对
,对 , = ( , ) ,使得当 且 时,
.
定义 设函数 在区间 上有定义,称 在区间 上一致连续,若对 , = ( ) ,使得对 ,只要 ,就有 .
定义 设函数 在区间 上有定义,称 在区间 上不一致连续,若 ,对 ,总可以找到 ,满足 时,但有 .
若将定义1.1中的 改为 ,则上述定义为: 对 ,对 , ,当 且 时,就有 .可见, 是在 与 任意取定后才出现的,则 与 和 都有关,因此将 记为 = ( , ),为使 仅与 有关,而摆脱 ,调整语序,使“ ”,在“ ”之后,则有定义1.2.从上述过程看,满足定义1.2的 ,一定满足定义1.1,故有：一致连续的函数一定是连续的,反之不成立.
1.2一元函数一致连续的几何意义
连续函数的图形,从直观上看,是一条连续不间断的曲线; 可导函数的图像在直观上看是一条连续光滑的曲线.而一致连续的函数的图形从直观上看是什么样的呢？我们只能从定义上进行一定的理解，但了解的却不深入.以下通过对函数的一致连续性的常用判定定理及其非一致连续的例子来说明.
定理1.1 函数 在闭区间 上连续,则 在闭区间 上一致连续.
定理1.2 设函数 在有限区间 上连续, 则 在 上一致连续的充要条件是 、 存在且有限.
若 为无穷区间, 上述条件是 在 上一致连续的充分不必要条件.
定理1.3 若函数 在区间 上连续, 且有斜渐近线,则 在 上一致连续.
特别,当渐近线斜率为0时,定理有如下结论：若函数 在区间 上连续, 且 存在, 则 在 上一致连续.
例1 函数 = 在 的每一个点都连续,但在该区间并不一致连续.
证明 由定义1.1，取 =1, 对正数 ,无论其多么小，令 , ,则 , 而 .因此，函数 = 在 在该区间不一致连续.
例2 函数 = 在区间 上不一致连续.
证明 取 , , n=1,2,3…
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