4.5 复射影空间C� �与Fubini-Study度量 24

4.6 Bergmann度量 25

4.7 K¨ahler-Einstein流形 26

5  K¨ahler流形上的力学 28

5.1 Newton力学 28

5.1.1 Ka¨hler流形上的微积分 28

5.1.2 Newton运动定律 29

5.2 Hamilton力学 30

5.2.1 辛几何 30

5.2.2 Hamilton方程 31

5.2.3 Galileo定律 33

5.2.4 Newton定律 33

5.2.5 能量守恒 34

5.2.6 Noether定理 34

5.2.7 动能 34

6  结论 36

致 谢 37

参考文献 38

1 引言

1.1 K¨ahler流形的引入

复流形的理论基础，源自于Riemann当初利用几何来研究复分析时得到的一些 结果。而K¨ahler几何的一些基础概念，是德国著名数学家K¨ahler于1932年在德国汉堡 提出的：

若复流形� 上的一个Riemann度量�与其上的复结构� 是相容的，则称�是� 上 的一个Hermite度量，并且把与之相关联的微分形式�称为K¨ahler形式。我们把满 足这些特点的Hermite度量，称为K¨ahler度量，把带有K¨ahler度量的Riemann流形称 为K¨ahler流形。

在K¨ahler流形上具有三种相容的结构：复结构、Hermite结构和辛结构。代数 簇、K¨ahler-Einstein流形、典型域以及Calabi-Yau流形等都是K¨ahler流形的重要例 子。

在K¨ahler流形的概念提出之前，法国数学家Cartan已提出了Hermite度量的概 念[1]。 通过研究一些例子，K¨ahler推 导出�是闭的， 当且仅当� 是平行的。 当时 的K¨ahler已经观察到了K¨ahler-Einstein度量的重要性，这表明了当时的几何学家对于 广义相对论有着巨大的兴趣。直到现在，以K¨ahler几何为基础的优美理论，依旧在 几何与物理上产生着重要的影响。

1.2 K¨ahler几何中的重要结果

1.2.1 Kodaira的工作

日本著名数学家K.Kodaira的嵌入定理是K¨ahler几何学中至关重要的结果[2]，他 指出具有Hodge度量的K¨ahler流形可以被全纯地嵌入到具有足够高维数的复射影空 间C� �中。另一条由Kodaira证明的Riemann-Roch定理则奠定了Riemann曲面的理论 基础[3]，该定理在K¨ahler流形中的推广是20世纪最伟大的Atiyah-Singer指标定理[4]的 特殊情形。

1.2.2 K¨ahler-Einstein度量

Einstein的广义相对论告诉我们，引力场的本质是弯曲时空，宇宙中的物质运动 都可以用曲率来表示。1916年，Einstein推导出了场方程。在真空中，应力-能量张 量是零，这表现为度量张量与Ricci曲率张量成比例。我们把这样的Riemann流形称 为Einstein流形，其上的度量称为K¨ahler-Einstein度量。特别地，把Ricci曲率张量为 零的Riemann流形称为Ricci平坦流形。