矩阵的特征值与特征向量的应用(2)
目 录
摘 要 2
ABSTRACT 2
第一章 引言 6
1.1 研究背景 6
1.2 研究现状 6
1.3本文主要研究内容 7
第二章 特征值与特征向量的定义及性质 8
2.1矩阵特征值与特征向量的定义 8
2.2 矩阵特征值与特征向量的性质 10
第三章 矩阵特征值与特征向量的若干求法 12
3.1定义法 12
3.2 行列互逆变换法 13
3.3 行初等变换法 15
3.4 列初等变换法 17
下面阐述利用列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤： 17
3.5 软件求解法 19
3.5.1基本命令 19
3.5.2 实验举例 20
第四章 矩阵特征值与特征向量的实际应用 23
4.1 矩阵特征值与特征向量在建模中的一些应用 23
1 矩阵特征值在一阶常系数线性微分方程组中的应用 23
2 矩阵特征值在马尔可夫链中的应用 23
4.2 矩阵和特征值在人口模型中的应用 24
参考文献 26
致谢 27
第一章 引言
1.1 研究背景
矩阵理论是数学领域甚至是科学界的基本概念之一，也是处理问题的重要工具之一，同时也是代数学的一个主要研究对象。矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论研究的主要内容之一，也是高等代数学的重要组成部分，它在高等代数和其他领域中占有重要的位置。同时特征值与特征向量又应用于高等代数的许多方面，对于该课题的研究可以进一步加深我们对高等代数各个部分的再次认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论。对矩阵的特征值与特征向量的求解方法探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量求解显得更为重要，求解矩阵特征值及特征向量方法的研究与讨论不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分重要的意义。
由于矩阵特征值与特征向量的应用是非常广泛的，例如特征值和特征向量的性质在矩阵运算中的广泛应用，再如可以利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用。在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。所以研究矩阵特征值与特征向量的求解方法是十分必要，也具有重要的理论价值与实际意义。
1.2 研究现状
目前已经有很多学术研究者对矩阵特征值与特征向量进行了一系列的深入研究。作者吴江、孟世才、许耿等人在文献《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》一文中介绍了线性代数中特征值与特征向量的意义及作用.作者郭华、刘小明等人在文献《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》一文中介绍了矩阵特征值与特征向量的性质，并给出了具体的例子揭示了矩阵特征值与特征向量在矩阵运算中所起的重要作用。另外矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中同样发挥着重要作用。矩阵迭代法也是求矩阵特征值与特征向量的一种数值方法，但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛于第一阶特征值与特征向量，所以作者陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》一文中讨论了初始向量的选取问题，并举例说明了迭代法在求矩阵特征值与特征向量中的重要作用。又我们知道当矩阵阶数比较大时矩阵运算会变得非常复杂和繁琐甚至难以进行，为此学者赵娜、吕剑峰等人在文献《特征值问题的MATLAB实践》一文中从具体实例入手，利用MATLAB程序演示了求解特征值问题的软件实现。
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