高考数学试题研究(2)
其次，高考数学试题作为我们学习和研究的一个完美对象。研究往年经典高考数学试题不仅可以学习命题组教师的创新型思维还能深刻体会到“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试说明》的基本要求。[2]高考数学试题的研究，尤其是比较典型的试题对精选例题的练习、习题的巩固、考试预测都有极大的帮助，还能避免题海战术，使你在做题的过程中有着方向性与针对性，对老师而言，在提高教学效率方面也大有益处。在研究高考数学试题时应选好视角，所谓视角是指从不同的角度、不同的方向、运用不同的方法来看待和研究同一个问题，并在此基础上对其进行拓展和延伸。选一个好的视角是从事任何研究工作的前提和基本策略。一般可以从出题的意图、试题的背景、试卷的布局、试题的解法、试题的拓展、试题的改编和试题的评价等角度进行。研究试题的解法主要是指试题的一题多解、多题一解等。一题多解是指对一道试题从多种不同角度进行分析和研究，进而得到多种解法，这既能培养学生学习兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性、还能培养数学探究意识。
在历年的高考试卷中，特别是在《考试大纲》的说明题中，我们可以选择一些构思精巧
、立意新明、背景深刻、情景新颖、设问巧妙的试题作为研究对象，主要分析近几年主流的解析几何、导数与数列等三大类型压轴题来研究与分析，从中学习命题组教师的创新型思维，体会“能力立意”的命题指导思想，并准确把握《考试说明》的基本要求。[3]
二、解析几何一如既往
每年的高考圆锥曲线的知识点一直渗透在单选、填空以及解答题中，虽然考察的题目各不相同，但是其知识点万变不离其宗，接下来我们来探索03年北京的圆锥曲线题目所考察的知识点，以及它的内涵。
（2003，北京，理）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线 交椭圆于两点 直线 交椭圆于两点 求证： ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
（一）“蝴蝶定理”所体现的魅力
请看，图（a）中，△MCH和△MGD看起来与两只翅膀翩翩起舞的蝴蝶神似，而本题的母题正是平面几何中著名的“蝴蝶定理”，是“蝴蝶定理”在圆锥曲线（本题中是椭圆）中的推广。蝴蝶定理的内容可以叙述为：如图（b）,M是⊙O的弦AB的中点，CD、GH是过点M的两条弦，连接CH、DG分别交AB于P、Q两点，则MP=MQ。
（二）、“蝴蝶定理”的计算
据说，一位不知名的数学家由于这个发现问题的图形像蝴蝶的翅膀， 图（a）
从而脑洞大开，想象出“蝴蝶定理”的名称。1994年2月号《美国数学月刊》将此题作为征解题，将其冠以“蝴蝶定理”的美名，从此，“蝴蝶定理”的名称广为流传。1946年美国普特南大学曾将此作为大学生竞赛题，近三百多年来，许许多多中外知名数学家都曾对“蝴蝶定理”进行过研究，如霍纳（1786-1837）、泰勒、迈尔斯•布兰德、严慈济、沈康身等等，得到不少有价值的证明方法。我国中学数学界在20世纪70年代末80年代初兴起过一次研究“蝴蝶定理”的热潮，成果也颇丰，出现了许许多多颇有特色的初等证法，如综合法、面积法、三角法、解析法等等这里我将着重介绍沈康身教授在《历史数学名题赏析》一书中记载的解析证明法：如图（b），取点M为原点弦AB为轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，各有关点坐标为M（0,0），Q（q,0）、P(-p,0)，DC、HG斜率分别为
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