于是由此柯西不等式   得证.

证法3:

    利用向量内积证明

设   ,   , 是 和 的夹角,

由向量积公式可得;

 =   ,  ,

故可以得到:此时又可以得到:柯西不等式   得证.证法4:

    用线性相关性证明柯西不等式 

设 为向量空间,若   ,      ,则    成立.当且仅当向量 与 线性相关时,该不等式式取等号.

证明过程如下:源:自~吹冰-味·论`文'网·www.chuibin.com/

     设 与 线性相关,则存在不全为 的实数 使得 +   ,由此就有 (其中  )将其代入上式,可得到等号成立.

     若 , 线性无关,则对每一个  ,都有 ,即至少有一个 , 使得 ,于是,

   ,或者因为 ,否则 线性相关矛盾.

于是就有 不全为 ,且 ,所以可以得到 即     ,

于是就可以得到以下结论:

     如果    的等号成立,则 和 肯定线性相关.

如果 和 线性不相关,那由 可以得到如下结论:

    中的等号必定成立.

综上,   得证.

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