，

则称函数 在点 处施瓦茨连续，简称为S连续，且称 为函数 的施瓦茨连续点.否则，就称 在点 处非施瓦茨连续， 称为函数 的非施瓦茨连续点，也称 为函数 的施瓦茨间断点.

用 定义可以将 在点 处的施瓦茨连续性定义陈述如下

定义2.1＇  对 ， ，当 时，有

 .

注 由上述定义可以知道，判断函数 在点 处是否施瓦茨连续，并不对函数 在 处的取得的函数值有要求.

命题1  若 ，则 在 点施瓦茨连续.文献综述

证  已知 ，即

 ，

从而

 ，

 ，

即

 .

因此 在 点施瓦茨连续.

定理2.1  若函数 在点 处连续，则 在点 处施瓦茨连续.

证  设函数 在点 处连续.则有

                       ，                   （1）

                       ，                   （2）

将（1）与（2）合并可得

 ，

即函数 在点 处施瓦茨连续.

例1  设函数 ，证明 在 处施瓦茨连续.

证  令 ，

 ，

 ，

 .

同理， 时，

 ，

 ，

 .

故

 .

在华师大的《数学分析》[1]教材中，还有左连续和右连续的定义，那么，对于施瓦茨连续，我们也类似的进行如下定义.

定义2.2  设函数 在某 内有定义.若

 （ ），

则称 在点 施瓦茨右（左）连续.

根据上述定义2.2，再结合定义2.1，我们不难推出如下定理.

定理2.2  (1)函数 在点 施瓦茨连续的充要条件是： 在点 施瓦茨左连续.

(2)函数 在点 施瓦茨连续的充要条件是： 在点 施瓦茨右连续.

证  显然(1)必要性成立，故只需证明(1)充分性.

已知函数 在点 施瓦茨左连续，即来~自^吹冰论+文.网www.chuibin.com/

 .

现令 ，则有

 ，

即

 ，

因此

 ，

 在点 施瓦茨连续.

同理可证(2).

注 我们发现，传统连续定义中函数在某点连续要求函数在该点既左连续又右连续，而根据定理2.2我们知道，施瓦茨左连续、施瓦茨右连续和施瓦茨连续这三者是相互等价的.

2.2 函数在施瓦茨连续点处的局部性质

我们知道，当函数在一点存在的极限，反映出函数在该点附近的函数值的态势特征.因此，当函数在一点连续时，其态势就为该点的函数值所限定，于是就有了保号性和有界性两个性质.那么如果函数 在 处施瓦茨连续，那么 处是否还具有这两个性质呢？

由2.1的例1可知，函数 在 处施瓦茨连续，对任意 ， 在 上是无界的，因此施瓦茨连续点并不具有有界性这一性质.