1。2 研究的意义和目的

矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程， 以及各种数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有 重要作用，目前矩阵特征值问题的应用大多来自解数学物理方程、差分方程等。正 因为它具有重要意义和广泛的应用，所以矩阵特征值问题是当前国内外高性能计算 机的主要任务之一。目的：熟悉掌握特征值,从多角度深入理解矩阵特征值在各方 面的应用研究。

第二章 矩阵特征值的概述

2。1 矩阵特征值的定义论文网

定义：设 A 是一个 n 阶矩阵，如果存在数和一个 n 维非零列向量，使得 A  （1）

成立，那么我们称 是矩阵 A 的一个特征值。

f EA 0 称为特征方程[5]

2。2 矩阵特征值的性质

f EA 称为特征多项式，

性质1 矩阵 A 的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。

性质2 若是可逆矩阵 A 的特征值，那么 1 则是 A1 特征值。



性质3 设 A 为 n 阶矩阵,其中1 ,2 ,,n 为 A 的 n 个特征值,那么

A 1 2 n 。 性质4 矩阵 A 可逆 A 的 n 个特征值都不为零。

性质5 若矩阵A，B为相似矩阵，那么矩阵A，B也有相同的特征值。

性质6 设为矩阵 A 的特征值，( A) 为 A 的多项式,则() 为( A) 的特征值。

性质7 为矩阵 A 的特征值 A E0 。

性质8 (哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理)设 A 是数域 P 上的一个 nn 矩阵，

f () E A 是 A 的特征多项式，则

性质9 如果1 ,2 ,,n 是线性变换 A 的不同的特征值,而 P1,Pn 分别为属于特征

性质10 设 A 为 n 阶的实对称矩阵, 1 ,2 ,,n 是其 n 个特征值,那么

(1)当且仅当1 ,2 ,,n 都大于零时,矩阵 A 正定; (2)当且仅当1 ,2 ,,n 都小于零时, 矩阵 A 负定;

(3)当且仅当1 ,2 ,,n 都为非负时,但至少一个等于零时, 矩阵 A 是半正定的; (4)当且仅当1 ,2 ,,n 都为非正时,但至少一个等于零时,矩阵 A 是半负定的; (5)当且仅当1 ,2 ,,n 中既有正数,又有负数时, 矩阵 A 是不定的。

第三章 矩阵特征值的算法

3。1 矩阵特征值的基础求法：

由矩阵特征值的定义我们可以知道当0 时，是矩阵 A 的特征值，为特征方程

f () E A 0 的根。因此我们可以得到矩阵 A 的特征值的求法步骤如下：

（1）计算矩阵 A 的特征多项式 f EA ，文献综述

（2）解特征方程 E A 0 ，求出方程的全部根 1 ,2 ,,n ，1 ,2 ,,n 即为矩 阵A 的特征值。

下面我们将举例以便更清楚的了解特征值的基本求法：

例 1： 求矩阵 A 1

解：A 的特征多项式为

2 2的特征值。

令 f ()  E  A  0 解得1 3,2 4 。即矩阵 A 的特征值为1 3,2 4 。

3。2 矩阵的初等变换法：