基于最速下降法的FIR滤波器设计方法研究(2)
数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。
2 常用FIR数字滤波器的设计方法
单位冲激响应的特点如下：
FIR滤波器的单位冲激响应 的z变换为：
其中在z平面上有N个零点和N个极点。
四种线性相位FIR滤波器的特性可以总结如下：
第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设计；
第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻；
第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计；
第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带通滤波器，不能设计低通和带阻。
2.1 窗函数法
2.1.1 窗函数原理分析
设数字滤波器的传输函数为 , 是与其对应的单位脉冲响应, 为系统函数。
一般说来, 是无限长的,需要求对 的一个逼近。采用窗函数设计法时,可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器
其中, 是一个长度有限的窗,在区间0 ≤ n ≤ N外值为0 ,且关于中间点对称
频率响应根据由卷积定理得出 （2.6）
理想的频率响应被窗函数的离散时间傅立叶变换 加权了。
采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应 的逼近程度,由两个因素决定:① 主瓣的宽度;② 旁瓣的幅度大小。
理想的情况是 主瓣的宽度窄,旁瓣的幅度小。但对于一个长度固定的窗函数来说,这些不能独立地达到最小。窗函数的一些通用性质为:
1、窗函数的长度N增加,主瓣的宽度减小,使得过渡带变小。
关系为:NB = C其中:B是过渡带的宽度;C是取决于窗函数的一个参数。如矩形窗为4π。调整N可以有效地控制过渡带的宽度,但N的改变不改变主瓣和旁瓣的相对比例。随着N值增加,过渡带变窄,波动频率也随着增加,虽然总的幅度有所减少,但截止频率附近的肩峰并不减少,而只是随着N值的增加,肩峰被抑制在愈来愈小的范围内,使肩峰宽度变窄。
2、窗函数的旁瓣的幅度大小取决于窗函数的选择。选择恰当的窗函数使主瓣包含更多的能量,相应旁瓣的幅度就减小。旁瓣幅度的减小,可以减少通带和阻带的波动,使通带尽可能趋近水平,阻带尽可能达到最大衰减。但通常此时过渡带会变宽。
3、取不同的窗函数对幅度特性的整形效果比单纯的增加窗口长度要强得多。
2.1.2 各种窗函数介绍
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
1、幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间(t)的高次幂；
2、 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
3、指数窗--采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。
下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
（1） 矩形窗
矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
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