基于最速下降法的FIR滤波器设计方法研究(3)
图2-1矩形窗的时域及频域波形
（2） 三角窗是幂窗的一次方形式，其函数形式是：
（2.9）
三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图2-2所示。
图2-2三角窗的时域及频域波形
（3） 汉宁(Hanning)窗
汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：
由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sin(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨率下降。
（4） 海明(Hamming)窗
海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：
海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB。海明窗的频谱也是由3个矩形窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／(10oct)，这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
（5） 高斯窗
高斯窗是一种指数窗。其时域函数为：
（2.14）
式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点(T为有限值)处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55 dB。高斯窗的主瓣较宽，故而频率分辨率低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图2-3是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。
对于窗函数，还有一些要求：
1）3dB带宽B，它是主瓣归一化的幅度下降到-3dB时的带宽。当数据长度为N时，矩形窗主瓣两个过零点之间的宽度为4π/N。
2）最大边瓣峰值A(dB)。
3）边瓣谱峰渐进衰减速度D(dB/cot)。
所以，理想的窗函数应当具有最小的B和A，和最大的D。
2.2 频率采样法
2.2.1 频率采样法原理
窗函数设计法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n)，来近似理想的hd(n)，这样得到的频率响应 逼近于所要求的理想的频率响应 。频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应 加以等间隔抽样得到 ，然后以此 作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值H(k)，即
（2.15）
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