基于最速下降法的FIR滤波器设计方法研究(4)
知道H(k)后，由DFT定义可唯一确定有限长序列 h(n)，利用这N个频域抽样值H(k)同样利用频率内插公式可得FIR滤波器的系统函数H(z)，及频率响应 ， 频率抽样法内插公式：
（2.16）
2.2.2 频率采样法小结
优点：可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。
缺点：抽样频率只能等于 2π/N 的整数倍，或等于2π/N 的整数倍加上π/N。因而不能确保截止频率 的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加抽样点数N，但这又使计算量增大。
为了提高逼近质量，减少通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。有目的地在理想频率响应的不连续点的边缘，加上一些过渡的抽样点，增加过渡带，减少起伏振荡。
2.3 最优等波纹设计法
2.3.1 均方误差最小化准则
这一准则是使误差能量最小，若用 表示要求的频率相应，用 表示实际得到的滤波器频率响应，以 表示频率相应误差，即
设计的目的就是选择一组 使得 最小。现将(2.3.1)中的 和 分别用他们的冲激响应表示，即
由于用FIR数字滤波器来逼近，故 长度是有限长的。将他们代入（2. 17)，得
按照帕赛瓦公式有：
由此式看出，等式右边第二个求和式之取决于给定的特性 ，它和设计值 无关，故是一个常数，要是 最小，就必须使第一个求和式最小，即希望
在这一条件下，就有
也就是说，要满足（2.23）
此式恰好是矩形窗的结果，所以，矩形窗设计结果一定满足最小均方误差准则。矩形窗虽然过渡带最窄，但是由于吉布斯效应，窗谱的肩峰过大，造成所设计出的滤波器通带起伏不均匀且过大，而阻带衰减则过小，不能满足要求。
2.3.2 切比雪夫最佳逼近一致定理和应用
切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，对于给定的区间[a, b]上的连续函数f(x)，在所有n次多项式的集合 中，寻找一多项式 ，使它在[a, b]上对f(x)的偏差和其他一切属于 的多项式p(x)对f(x)的偏差相比是最小的，即
（2.24）
切比雪夫逼近理论指出，这样的多项式是存在的，而且是唯一的，并指出了构造这种最佳一致逼近多项式的方法，这就是有名的“交错点组定理”：
设f(x)是定义在[a, b]上的连续函数，p(x)为 中一个一阶次不超过n的多项式，并令 及E(x)=p(x)-f(x)，p(x)是f(x)最佳一致逼近多项式的充要条件是，E(x)在[a, b]上至少存在n+2个交错点 ，使
这n+2个点即是“交错点组”，显然x1,x2…xn+2,是E(x)的极值点。
n阶切比雪夫多项式 （2.26）
在区间[-1, 1]上存在n+1点
，k=0,1,,n， （2.27）
轮流使得 取得最大值+1和最小值-1。 是x的多项式，且最高项 的系数是 ，可以证明，在所有n阶多项式中，多项式 和0的偏差为最小。这样，如果我们在寻找p(x)时，能使误差函数为某一个 ，那么，这样的p(x)将是对f(x)的最佳一致逼近。
基于交错定理，最优线性相位FIR滤波器的设计步骤如下：
1、输入部分，包括滤波器性能要求以及滤波器的类型，前者指的是所需的频率响应的幅度函数 ，加权函数 和滤波器单位抽样响应长度N，后者是要指出所需要设计的是带通(包括低通、带通、高通、带阻等)滤波器或是微分器或者是希尔伯特变换器。
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