基于时频分析的多项式相位信号瞬时频率估计(4)
2.1 时频分析的基本概念
2.1.1 解析信号
对于非平稳信号 ，在对其进行时频分析之前，要先将实信号转化成复信号 的形式[ ]。有无穷多的方法可以使复信号 的实部与所给的实信号 相同。最简单的方法就是直接将 作为 的实部，并添加一虚信号 作为其虚部，即
（2.1.1）
如果将其写成极坐标的形式：
称为复信号 的瞬时幅值， 为瞬时相位。由式(2.1.3)可知， ，这表示代表 的曲线“包着”代表 的曲线，所以常将 成为包络。特别对高频窄带信号，包络具有明确的意义。
对于窄带信号这一特殊情况，通常保留其正频部分（并将幅度加倍，以使原信号的总能量保持不变），并剔除负频部分。由于实信号的频谱是共轭对称的，剔除负频分布不会造成信息的损失，也不会带来虚假信号。这一做法推广到一般实信号，则可以得到 的频谱为：
（2.1.5）
则 可以由 通过滤波得到， 为奇对称阶跃式传输函数，即
（2.1.6）
若与 对应的冲激函数为 ，则由式（2.1.5）可知，复信号 可写作：
（2.1.7）
式中， 成为实信号 的Hilbert变换。 即与实信号 对应的解析信号。
2.1.2 瞬时频率
时间和频率是信号分析与处理中两个最常用的物理量。一般所说的频率是与傅立叶变换密切相连的频率，而在现实世界及工程应用中还存在着另外一种频率，称为瞬时频率。
从物理学的角度，信号可分为单分量和多分量两大类。单分量信号在任意时刻都只有一个频率，该频率称为信号的瞬时频率。多分量信号则在某些时刻具有各自的瞬时频率。
根据解析信号的定义，给出瞬时频率[9] [ ]定义公式：
（2.1.8）
即瞬时频率为解析信号的相位的导数。由于瞬时频率是时变的，所以应该存在有与瞬时频率相对应的瞬时谱，并且该瞬时谱的平均频率即为瞬时频率。
同时，Ville还将魏格纳分布引入到频率的一阶矩中，得到瞬时频率的另外一种定义:
(2.1.9)
其中， 为魏格纳时频分布（WVD）变换。
2.2 线性时频变换
线性时频变换是指信号的时频变换满足叠加性。这类分布适合分析多分量信号，不存在交叉项。线性时频变换主要包括三种，即短时傅立叶变换(STFT)、Gbaor展开和小波变换。本节重点讨论短时傅立叶变换。
短时傅立叶变换(STFT)是最早和最常用的一种时频分析方法，是傅立叶变换的自然推广。其基本思想是用窗函数来截取信号，假定信号在窗内是平稳的，采用傅立叶变换来分析窗内信号，以便确定在那个时间存在的频率，然后沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系，这就得到了所需要的时频分布。
2.2.1 短时傅立叶变换的定义
对于连续信号 ，其短时傅立叶变换[11]定义为：
（2.2.1）
式中 ， ， 。
STFT的含义可解释为：在时域用窗函数 去截 ，对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在 时刻得该段信号得傅立叶变换。不断地移动 ，也即不断地移动窗函数 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的集合，即是 。显然， 是变量 的二文函数。
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