基于时频分析的多项式相位信号瞬时频率估计(5)
当在计算机上实现一个信号的短时傅立叶变换时，该信号必须是离散的，且为有限长，并将频率 离散化。设给定的信号为 ，对应（2.2.1）式，有
（2.2.2）
上式将频域的一个周期 分成了 点，显然，上式是一个标准的 点DFT，若窗函数 的宽度正好也是 点，那么上式可写成
， （2.2.3）
若 的宽度小于 ，那么可将其补零，使之变成 ，若 的宽度大于 ，则应增大 使之等于窗函数的宽度。总之，（2.2.3）式为一标准DFT，时域、频域的长度都是 点。
2.2.2 短时傅立叶变换的性质
利用式（2.2.1）不难证明STFT具有以下性质：
(1)短时傅立叶变换是一种线性时频表示，一般说来，它是复值的。
(2)时移性（2.2.4）
即STFT不具有时移不变性，但在某一调制范围内即相差一相位因子的范围内可以保持时间移位不变。
(3)频移性（2.2.5）
(4)卷积关系（2.2.6）
如上式，短时傅立叶变换也可以用信号谱和窗谱来表示。除相位因子 外，这一“频域表达式”与“时域表达式”(2.2.1)类似。式(2.2.6)说明，STFT也可解释为“加窗谱” 的傅立叶反变换，其中谱窗 是时间窗 的傅立叶变换[ ]。
2.2.3 短时傅立叶变换的分辨率
从时域上分析，STFT是 加时域窗函数 后的傅立叶变换，为了提高其在时域上的分辨率，需要一个短的时域窗。另一方面，从频域上来说，STFT是 加频域窗函数 后的傅立叶变换，所以，为了提高其频域分辨率，必然需要一个窄带分析窗。而短的时域窗其频域形式必然是宽带的，窄带窗的时域形式必然是长的。所以，STFT的时域和频域的分辨率相互制约。
另外，用 和 分别表示STFT的时间分辨率和频率分辨率，根据不确定性原理，它们的乘积满足：
（2.2.7）
不确定性原理证明不存在既有任意小的时间间隔又有任意小的带宽的窗函数。这意着，只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或反过来用频率分辨率的牺牲换取时间分辨率的提高。
2.2.4 仿真验证
例1．为了验证窗函数 的形状和长度对STFT时频分辨率的影响，考虑计算由两个高斯幅度调制的线性调频信号组成的非平稳信号的STFT。
这两个信号一个时间中心在 处，另一个时间中心在 处，调制信号的归一化频率都是0.25。其时域波形如图2.1a所示。选择 为Hanning窗，取窗的宽度为55，其STFT如图2.1b所示；将窗函数的宽度减为13，所得STFT如图2.1c所示。
（a）信号时域波形 (b) 短时傅立叶变换（55点hamming窗）
(c) 短时傅立叶变换（13点hamming窗）
图2.1信号时域与短时傅立叶变换
在图2.1b中，STFT的频率定位是准确的，而在时间上分不出这两个信号的时间中心；在图2.1c中，STFT在时间上也实现了两个中心的定位，但频率定位不如之前准确。由此可知，窗函数的宽度影响STFT的时频分辨率，而且，因为不确定性原理的限制，其时间分辨率和频域分辨率不能同时达到最佳。
例2．为了验证短时傅立叶变换的线性，无交叉项的特点，考虑多分量信号 。该信号的时域波形如图2.2a所示，其短时傅立叶变换如图2.2b所示。由图可知，STFT基本实现频域的定位，同时，在两频率之间并没有交叉项的干扰。
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