Lyapunov具有执行器饱和的离散周期系统研究(2)
对于含饱和环节的控制系统，人们早期可借鉴的理论是相平面法、描述函数法，以后又是所谓的抗饱和法(anti-windup)。上世纪中期发展成熟的线性系统理论、LQG, Kalman滤波、动态规划及Pontriakii极大值原理构成了所谓现代控制理论的总体。从历史的观点来看，开创线性控制饱和系统研究局面的当属A.T.Fuller于1962年发表的一篇文章[1],Fuller给出结论:若一个输入饱和系统的积分器长度n≥2，则不存在使系统全局稳定的饱和线性反馈控制的理论。可惜的是这个具有重大意义的成果在随后20多年里都没有被有关学者所认识。在这一时期，研究热点集中在最优控制领域中运用受限控制发展广义线性时变系统的全局渐近稳定的理论判据[2,3], 其中最普遍的约束是在控制空间中包含原点的紧凸集。
Sontag和Sussman在1990年发表的一篇文章[4]在很大程度上激活了对有界控制线性系统的热情研究，这篇文章指出广义的有界控制约束的线性系统一般只有运用非线性控制才能达到全局渐近稳定，这个结论在某种程度上验证了以前Fuller的研究成果，并且指出了新的研究方向。文章[5,6]拓宽了系统的类型，给出稳定性方面的较新成果。
涉及镇定问题，Sontag和Sussman对一类有界输入渐近零可控的系统(ANCBC)进行了研究，ANCBC意指在开右半平面没有特征根的可镇定的线性系统，给出系统可全局镇定与ANCBC间的关系。后来H. J. Sussmann和 Y. Yang文章[7]指出即使ANCBC系统也不可能用线性状态反馈使其得以全局镇定，欲达到全局镇定只好使用非线性控制了。为此，文章[8,9]饱和套技术来构造非线性控制器，[10~13]设计增益可调控制器。
既然线性控制器不能保证ANCBC对象的全局镇定，可否使其半全局镇定，也即使闭环系统的吸引域足够大以致可以包含任一给定的有界紧集?文章[14~20]重点研究了这一问题，其中Saberi的文章[16]通过基于ARE的高低增益控制器实现半全局镇定。
若可镇定的有界输入对象有着开右半复平面的特征根的话，无论何种反馈控制只能使其在一定区域内达到渐近镇定，也即出发于这一区域任意点的轨线渐近收敛于平衡点，此区域亦称闭环系统的吸引域(对应于所选反馈控制)，能获得尽可能大的吸引域的控制在某种意义上是好的。由于获得吸引域的确切值比较有困难(较少，仅在文章T. Hu和Z. Lin的一篇文章中针对单输入系统给出了吸引域的确切值)，因此获得吸引域的估计是非常重要的。减少吸引域估计的保守性和在吸引域内得到尽可能大的不变集的估计就成了两个热点问题。
估计系统的吸引域中比较常用的方法就是利用不变集。两种较为常用的不变集为椭球体和多面体。椭球体集合是一种控制理论中的经典集合，因其边界具有光滑性，基于该类不变集容易构造出连续的控制规律，便于工程应用。一般地，采用有限数目的椭球体集合可以非常好的估计吸引域，但是这种方法的计算量也比较大。最近，多面体集合的方法受到了更多的关注。一般来说，多面体集合方法本质上是不保守的，但是随着边数目的指数增长，计算负担也会相应的指数增长。关于这个问题，Blanchini在文章[21]中做了比较详细的阐述。
采用上述方法分析稳定性的时候，最常用的方法是基于Lyapunovfunction分析方法。由Lyapunov稳定性理论可知，给定一个Lyapunov函数，相对应的我们将会得到一个Lyapunov水平集。通过Lyapunov水平集，我们能够构造一个包含在吸引域内的不变集，即可以通过构造这样的不变集来估计系统的吸引域。
由于饱和具有典型的非线性特性，在用Lyapunov稳定性理论分析饱和系统的时候，必须对饱和非线性环节进行处理。到目前为止，己经发展出了若干的处理技术。其中有采用绝对稳定性分析工具例如圆判据和Popov判据对饱和系统进行稳定性分析，最初的尝试是Glattfelder等运用标量Popov及圆判据研究了一个带饱和执行器的SISO系统的稳定性分析问题。紧接着，P. Kapasouris和 M. Athans在文章中扩展了多变量圆判据去设计多变量饱和控制系统。Chen等针对具有饱和执行器和扇形非线性饱和执行器的多变量线性系统进行了研究，并利用Bellman-Gronwall's不等式得到了一个保证闭环系统内部稳定和输入/输出稳定的充分条件。这种用于估计饱和系统吸引域的方法是将饱和视为一种局部扇形有界非线性，且采用二次和Lure型Lyapunov函数来估计吸引域。这种处理饱和的方法得到了广泛应用。但由于圆判据和Popov判据是用于广义无记忆的扇形有界非线性的分析工具，忽略了饱和非线性的具体特性，将其运用于处理饱和非线性去估计系统的吸引域不可避免地会带有保守性。