Lyapunov具有执行器饱和的离散周期系统研究(4)
顾名思义抗饱和法避免饱和对闭环系统性能产生影响的一种方法，目前也比较流行。它是先不考虑饱和特性，按常规方法综合控制器，然后加上一反馈项去避免发生控制饱和，但早期的抗饱和技术也存在不少问题。随后这一技术也得到逐渐改进，Teel以L2增益和稳定性的形式地给出抗饱和补偿器，Popov稳定判据也应用到抗饱和补偿器的设计中，但给出的饱和控制器是耦合Ricatti方程，这对求其最优解是非常困难的，Moulder把静态抗饱和控制器的设计条件表示成LMI形式, Grimm的最新研究指出:对于开环稳定的线性时不变系统(LTI)系统，只要抗饱和补偿器的阶数不大于被控对象的阶数，则系统的动态抗饱和补偿器就可以通过LMI方法解出目前许多学者致力抗饱和法的研究、完善与推广，如Wu运用改进的抗饱和技术研究执行器饱和不稳LTI系统和执行器幅值和速率都饱和受限LTI系统的区域稳定性，Gomes设计了动态抗饱和控制器以使所研究系统的稳定域尽可能大, Hu运用动态抗饱和控制器研究了一般执行器饱和线性系统的区域稳定性和L2性能，Cao运用抗饱和方法对一般执行器饱和线性系统的吸引域的估计扩大和跟踪问题进行了研究。
饱和非线性系统控制的难点在于饱和环节的处理，通过将饱和非线性特性适当地转化为系统的线性约束，即可基于线性控制理论的框架进行扩展，从而导出饱和非线性系统的分析与设计方法，将控制系统的综合表述为LMI约束下的凸优化问题，最终实现闭环系统稳定性与性能之间的平衡设计。
2. 预备知识
2.1 Lyapunov稳定性定理对于系统
如果1）存在正定函数
2） 是半负定的
则平衡状态 是稳定的。
若条件2)改为 是负定的，或者加上对于系统的非零解，有
不恒等于零，则平衡状态 是渐近稳定的。
其中的 为Lyapunov函数，该引理表明无须求出显解，仅根据 的特征就可以判定系统的稳定性。引理中的条件均为充分条件，为了判别系统的稳定性，必须设法找到一个Lyapunov函数 。
在状态空间描述的线性系统 ，选择Lyapunov函数 ，则系统稳定当且仅当正定对称矩阵P满足：
，则Lyapunov函数的存在性转化为线性矩阵不等式的可解性问题。
对于离散的非线性系统，选用备选Lyapunov函数 ，即对于 属于给定域，系统满足 。Lyapunov的稳定性判定定理提供了判断复杂系统稳定性的有力工具，基于Lyapunov方法的反馈控制不但设计简便，在线计算量少，而且便于闭环鲁棒性能分析。特别是近几年来，Lyapunov用于不确定时滞系统稳定性分析和有关性能指标的综合问题可以转化为LMI问题，使得设计更为简便，因此Lyapunov方法正受到高度重视。
2.2 饱和系统反馈镇定问题
饱和系统反馈镇定问题是指设计一控制器使饱和受限控制系统稳定。当饱和受限系统通过反馈控制不能达到全局镇定，饱和系统的反馈镇定主要解决的问题就是设计一控制器以使系统的吸引域足够大以致可以包含任一给定的有界集。在这一问题研究中，涉及到比较重要的概念有不变集和吸引域。
定义2.2.1 集合 被称为系统 的不变集，如果对于任意的
，系统都能保证 成立。
定义2.2.2 自初始状态 出发的系统 的解 ，则集合 称为系统 的原点吸引域。
2.3 非线性系统L2增益
考虑非线性系统
其中x=[x1 x2 … xn]T属于局部区域 为输入信号， 为评价信号，f(x)和h(x)为充分可微函数向量，g(x)是具有充分可微的函数矩阵。假设x=x0是此系统所对应的自由系统 的局部平衡点，即 。