Lyapunov具有执行器饱和的离散周期系统研究(5)
定义2.3.1 设 给定，对于任意的T≥0，上面系统的输入信号满足 ，则称该系统的L2增益小于等于 ，其中L2[0,T]表示平方可积且满足 的所有集合， 。
2.4 饱和项的处理方法
系统 （2.4.1）
状态向量 ，控制向量 ，A，B是合适文数的常熟矩阵，sat(.)为饱和非线性函数，其特性如下
对于其中饱和项的处理目前主要有三种方式：基于非线性扇形区域法，基于对角矩阵法，基于凸组合法。这里我们采用的主要是基于非线性扇形区域法，所以着重介绍非线性扇形区域法。
对系统(2.4.1)的饱和特性可当作局部扇区非线性处理，运用圆判据，Popov判据，使用二次Lur's型Lyapunov函数研究闭环系统的鲁棒稳定性。其中比较典型的方法是引入无记忆状态反馈控制器
其中 为反馈控制增益，并令
把（2.4.6）（2.4.7）运用到系统（2.4.1）进行相关的研究。但是由于使用的是无记忆的扇形非线性受限，因而用它来估计饱和受限系统吸引域会有一定的保守性。
2.5 LMI概述
鲁棒控制中的许多问题都可以转化为LMI或带有LMI限制条件的最优化问题，LMI方法已成为不确定系统分析与综合的强有力工具。
定义2.5.1已知对称矩阵函数
（2.5.1）
其中 是位置变量， 是给定的对称矩阵，由于它对变量x有线性关系，又称线性矩阵函数；若对于x及任意非零向量 都有 成立，则 是正定的，即
（2.5.2）
这便是线性矩阵不等式（LMI）。
显然多个LMI可以用一个LMI表示，即
等价于
2.6 Schur补引理
引理2.6.1（Schur补）假设对称矩阵 的分块表示为
，其中 ，则以下三个结论等价
i) C<0且 ；
ii) A<0且
iii) F<0
Schur补引理非常有用，借助它可将某些二次非LMI转化为LMI。关于
LMI可以归纳以下三种标准问题
1)LMI可解性问题(LMIP),
2)特征值问题(EVP),
3)广义特征值问题(GEVP)。、
3. 关于离散周期系统设计的稳定性判据
3.1 问题的描述
对于非线性系统 （3.1.1）
其中状态向量 ，控制输入 ，系统参数 ， ， ， 已知，在状态反馈 作用下，相应的闭环系统为
（3.1.2）
假定系统满足如下前提条件：
C1：选定满意且非零的F，使A+BF是Schur稳定的，即其全部特征值位于开的单位元内。
条件C1隐含（A,B）是可控的，且保证下面的Lyapunov方程
（3.1.3）
有唯一对称正定矩阵P。依据上述P和一个正数r，便确定状态空间如下：
椭球
用（3.1.3）的接阵P定义系统的备选Lyapunov函数 ，如对 都有 ，显然 是不变椭球。
3.2 稳定性的求解
要求解系统的反馈矩阵，首先要处理饱和项，此时我们采用上面介绍的非线性扇形区域法，将（2.4.6）、（2.4.7）应用于（3.1.1）系统可得