Lyapunov具有执行器饱和的离散周期系统研究(3)
为了减少处理饱和非线性时的保守性，Hu等在文章[22]中针对饱和线性反馈下的系统，利用饱和非线性的具体特性，提出了一种新的处理饱和的方法:线性凸包处理法，其是通过引入一个辅助矩阵H来实现的;而且稳定性条件可以表达为关于所有变参数的线性矩阵不等式，因此能够容易地用于控制器的综合。最近Hu等又研究了一类特殊的饱和系统，这类饱和可以用凸函数和凹函数的组合来无限逼近。因为这种方法考虑到了饱和环节的具体特性，所以减小了系统的保守性。
采用Lyapunov稳定性理论分析时，二次型函数是最常用的一种Lyapunov函数。另一种用二次型函数构造的Lyapunov函数是分段线性二次型函数，但是这种形式的切apunov函数不一定是连续可微的，并且它的Lyapunov面包含的集合不一定是凸的。对于离散时间系统，分段线性和分段仿射Lyapunov函数是最常用的选择。利用了饱和程度信息，构造了称为饱和依赖型的Lyapunov函数，这种方法也减小了系统的保守性。最近，Hu等构造了复合二次型Lyapunov、函数，这个函数具有很好的特性，采用这种函数分析系统稳定性时，吸引域的估计可以表示成若干集合的估计，从而大大的减少了保守性。基于二次凸包函数可以设计非线性控制器以得到较线性控制器更好的鲁棒稳定性和系统性能。近年，Wang等结合Hu和Cao的基本思想提出一种新的饱和依赖型Lyapunov函数这些工作对于减少系统分析的保守性都作出了一定的贡献。但怎么样构造合适的Lyapunov函数来减少分析时的保守性仍然有很多工作要做。
上面方法分析的对象都是没有外部干扰的系统，而实际系统一般都会受到干扰影响。如果考虑到干扰，系统方程就应该是:
w是外部干扰，系统的控制输入量 有限制
即u的各个分量均有绝对值不超过1的限制。考虑这样的系统，由于干扰项Ew不存在饱和，所以当它足够大的时候，无论初始点在那里，无论采用什么样的控制策略，系统的轨迹都可能是无界的。所以我们感兴趣的问题是在怎么样的干扰情况下，系统仍然是稳定的。Hindi等给出了r-Level干扰抑制的概念，这个干扰抑止的界是以干扰的最大能量界的形式给出的。同时，他们也提出了 增益的界。假设干扰的幅值是有界的，Nguyen等采用状态反馈和输出反馈的方法做了大量的工作来分析和最小化系统的 增益Megretski的工作得到了一个增益分配的反馈控制器，这个控制器能够保证系统的闭环稳定并且得到了从干扰到状态的有界码增益。Hu等从另一个角度给出了干扰抑制的概念。考虑这样一个集合，从这个集合中出发的轨迹会一直在这个集合中。如果存在这样一个有界集合，就可以设计控制器进行干扰抑止。这里干扰抑制的概念是得到一个尽可能小的临近原点的集合，从这个集合中的点出发的轨迹还是在这个集合里面。运用这种方法的前提是给定干扰的幅度，这个也是这种方法的局限性。
1.2 执行器饱和的控制策略
对待执行器饱和系统的控制策略基本上可归为两大类:直接(面对)法和抗饱和法。
直接法不回避饱和，甚至充分考虑和利用之。Glatterfelde:研究了一个带饱和执行器的单输入单输出(SISO)系统的稳定性分析问题，通过采用圆盘定理和Popov稳定性判据来分析饱和系统的稳定性[23]，Chen针对具有饱和执行器和扇形非线性饱和执行器的多变量线性系统进行了研究，得到了一个保证闭环系统内部稳定和输入/输出稳定的充分条件[24]。Mahmoud进一步推广这一结果并矫正了Chen一文中所存在的不足[25]。Klai把以上结果推广到存在状态滞后的线性系统并得到了一个状态反馈可镇定的充分条件[26]。Saberi和Lin运用小增益线性状态/输出反馈控制器和小增益变结构控制器的直接方法来研究饱和受限系统的稳定问题，为充分利用控制器的容量来提高系统的其它性等指标诸如快速响应、干扰抑制，后又提出了高低增益控制器。高低增益控制器是低增益和高增益控制器的叠加，构成规则是完全独立的，两种控制器都具有可调参数。通过调整低/高增益控制器的参数可以分别增加闭环系统的吸引域和增加利用系统的控制容量及保证系统其它方面性能如干扰抑制、鲁棒性等。Hu利用凸组合处理饱和特性、运用线性反馈非线性反馈直接来分析系统的稳定性和控制器的设计。