含饱和的多智能体系统中的控制问题(4)
两个节点间都存在一条无向路径，则该无向图是连接的。
令矩阵�的拉普拉斯变换矩阵为ℒ = [ i j] ∈ Rn×n
，定义：
{︃
i j =
∑︀n
j=1 ai j j , i
i j = −ai j j = i
(3)
且ℒ是对称半正定矩阵。还需要注意的是ℒ 有一个简单的零特征值与特征向量1 相关联，
其中1是相容大小全是1的列向量，且当且仅当�连接时所有其他特征值均为正值[18]。
倘若领导者在任意时刻均能够跟至少一个跟随者保持通信，即由这N 个智能体
和领导者组成的图 ¯ �始终包含一个以领导者为根的生成树，则将 ¯ �中定义一个向量矩
阵H = [hi] = diag(h1(n+1) hn(n+1)) i = 1 n, 其中hi(n+1)表示 ¯ � 中第i个智能体与领导者间
的连接关系，如果领导者的位置对第i个跟随者而言是可以有所联系的，则hi(n+1) 是一个正
的常数，否则hi(n+1) = 0。
为解决饱和这一约束条件下的一致性追踪问题，设计低增益控制算法，仅考虑局
部的跟随一致性问题，即仅用到周围邻居的信息。文献[22]中让假设1成立,则对于每
个 ∈ (0 1]，存在唯一的矩阵P( )，它解决了连续时间的Riccati方程BTP( ) + P( )B −
P( )CTCP( ) + I = 0,此外， → 0时，P( ) → 0。因此在设计低增益反馈时，可以对智能
体构建一个线性反馈定律: ui = −CTP( )
∑︀n
j=1 ai j(t)(xi − xj) − CTP( )
∑︀N
j=1 hi(t)(xi − xn+1) 因为
该式子确立在引理3上，lim →0 P( ) 的事实激励了低增益反馈。在下文中，将用一个具体
的函数来代替式子中的相关变量。