matlab移动机器人的最优二次控制+数学模型(10)
动力学模型是刻画了地理过程动态机制的模型。此次运动学模型是是为了给动力学模型做铺垫。研究物体的运动和力的关系和影响，则是动力学的研究课题。
轮式机器人的动力学模型类似于其他机器人机械系统的动力学，它包括这两方面的问题，逆向和前向动力学。在这里，我们对这两方面的问题将使用同一个数学模型。轮式机器人通常可分为非完整约束系统和完整约束系统两类。完整系统和非完整系统的主要区别在于，完整系统的独立驱动个数等于定义系统的一个位姿（位形）需要的变量（拉格朗日力学中的独立广义坐标）的个数。而非完整系统，定义系统一个位姿需要的变量数多于独立的驱动数。
图3.2在全局参考系中差动驱动机器人
如上图为例，机器人的整体的质量为m,绕c点的转动惯量为J.设左右两轮输出轴的转动惯量为J1，J2,左右电机驱动力矩为T1,T2,左右两轮的转速为 和 .左右两轮受到的XR方向上的约束力分别为FXR1,FXR2,两轮沿着YR方向上受到的约束 力为FYR。
分别在XR,YR以及z轴方向及电机轴方向上对移动机器人进行受力分析，得到动力学方程为
（3-7）
采用机器人广义位姿矢量为 ，将（3-7）可整理成拉格朗日标准形式为
（3-8）
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程.
拉格朗日方程的优点:
1）用拉氏方法建立系统的微分方程,不用考虑约束力的具体情况,且约束越多,方程数越少,克服牛顿力学在多约束系统中遇到的困难.
2）拉格朗日方程是解决完整系动力学的普遍适用方程,可用在惯性系、非惯性系；拉氏方程形式对任何广义坐标保持不变，且与力学系统的结构和运动形式无关。
3）拉格朗日方法为建立系统的运动微分方程提供了统一的程序，可推广到物理学其他领域。
整理方程,可得
（3-9）
式中 （3-10）
其中，M为惯量矩阵；E为转换矩阵； 为对应于约束力的拉格朗日乘数因子矩阵； 为力矩矢量。
机器人广义位姿速度为 满足非约束方程 ，（方程有非0解）
式中
即
动力学普遍方程：受理想约束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。
由运动模型可知: （3-11）
简化后的动力学方程为
将局部参考坐标系中的转速映射到全局坐标中。
由此我们得到了被控电机驱动力矩 ，与机器人广义位姿加速度矢量 之间的表达式，为实现自动控制打下基础。
系统的状态方程为
其中 为机器人广义位姿加速度矢量 ，u被控电机驱动力矩
即系统方程为 。
其中，
3.3本章主要内容
最优控制的设计最终是为了设计最优二次型控制器。
首先，建立运动学模型，动力学模型是动力学模型的基础，了解其定义和理论的基础上，建立实际移动机器人的运动学模型。运动学是对系统如何运行的最基本的研究。
接着，建立系统的动力学模型。动力学研究力的作用，可以从力的角度来分析系统的运作，电机的转矩和轮子速度之间的关系可以使系统的控制更明朗化。动力学模型的建立是采用拉格朗日方程，拉格朗日方程可以不用考虑约束力的具体情况、普遍适用且对任何广义坐标保持不变，且与力学系统的结构和运动形式无关和能适用于建立系统的运动微分方程等优点。