matlab移动机器人的最优二次控制+数学模型(11)
动力学模型的建立提供了二次型控制器的状态方程，为性能指标的建立提供了基础。
4移动机器人的二次最优控制
4.1最优二次的定义
LQR (linear quadratic regulator)即线性二次型调节器，二次型性能指标是在利用这个调节器 ，它的对象是现代控制理论中线性系统，该系统是以状态空间形式给出的 ，而目标函数为控制输入和对象状态的二次型函数。LQR即线性二次控制器的最优设计是指设计出二次型目标函数J 取最小值的状态反馈控制器K，而 K是由加权矩阵Q 与 R 的值为唯一决定，故对 Q、 R 的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。更重要的是 ，LQR可得到线性状态反馈的最优控制的规律并且易于构成闭环最优控制系统。
最优二次设计的前提是建立系统的模型，确定最优二次型的状态方程，在此基础上才能对系统的性能进行设计，最终确定线性二次型控制器。
控制系统最优设计,关键是它的性能指标的设计,就是要使设计出的闭环系统的三个性能,包括期望动态特性,抗干扰性以及使J=Jmin达到的最优性能.但是现实的问题是,由于闭环系统期望特性与[Q,R] 值的选择紧密相关联而又是不明确,这就造成确定[Q,R]变得复杂,也使得LQ最优控制设计的成了瓶颈问题。
近几年，随着我国科技的不断进步，理论成果的不断加强、累积、和完善，国内学者提出了确定[Q,R]的新方法,大致可分为二大类:一、数值迭代法；二、Q参数显式代数解法。其共同特点是缺乏简便性。
迄今提出的[Q,R]确定直接方法,选求P或Q后算R或假定R为单位阵来求P,Q的模式,其明显优点有:充分利用R阵在实际工程上可以选定的客观性和R阵文数低于P(或Q)的文数,计算量较小;算法没有复杂的数学变换和迭代计算。因此,本文法符合系统设计计算简便性要求,能较有效解决LQ最优控制理论在工程上应用的瓶颈的问题[13]。
在分析和解决LQ（线性二次型）最优控制问题的过程中,给定系统最优状态矩阵与加权矩阵的简单明显的关系的确定,给合实际工程情况, 首先假定加权矩阵R可以为正定对角矩阵,并且结合事实——R阵的文数小于P,Q阵的文数,能简便地求解出R,然后就应用广义逆矩阵解出矩阵方程,从而可求出矩阵P,最后得到一个确定[Q,R]数值的直接方法。
4.2性能指标
在控制系统设计中，可以有多种方案设计来达到同一个控制目的，具有最小能量的控制方式更具实际意义。系统状态完全可控，且状态向量中的位置和角度两个变量相互独立，因此是线性定常系统状态
（4-1）
式中A=0， ,
式中 为机器人广义位姿加速度矢量 ，u被控电机驱动力矩 。
系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述：
（4-2）
其中，Q是对称正定（半正定）加权矩阵(所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中,即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外,其余元素皆为零的矩阵为对角矩阵。) 。
加权矩阵Q对系统性能的影响
理论上，Q的取值范围是0到无穷，但是由于计算时间和计算位长的限制，取值不可能达到无穷大。Q矩阵通常是对角线常数，对角线上的元素分别表示为误差分量的重视程度，越重视，它的值越小，相应的加权系数就越大,系统达到稳态的时间越长。反之,则系统达到稳态时间就越短。