MATLAB一级倒立摆的二次最优控制系统设计仿真(5)
(2.5)
(2.6)
力矩平衡方程如下：
(2.7)
对于此方程中力矩的方向，由于 ，cosφ = −cosθ，sinφ = −sinθ ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程：
(2.8)
设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即φ <<1，则可以进行近似处理：cosθ = −1，sinθ = −φ， 。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
（2.9）
对式(2-9)进行拉普拉斯变换，得到：
（2.10）
由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
（2.11）
或
（2.12）
令v=x，则有：
（2.13）
把上式代入方程组的第二个方程，得到： （2.14）
整理后得到传递函数：
（2.15）
其中
设系统状态空间方程为：
（2.16）
方程组 对 解代数方程，得到解如下 （2.17）
整理后得到系统状态空间方程：
（2.18）
由(2-9)的第一个方程为：
对于质量均匀分布的摆杆有：
于是可以得到：
化简得到：
（2.19）
设 则有：
（2.20）
2.1.3 实际系统模型
本课题用的是固高科技有限公司的直线一级倒立摆，此设备参数如下:
M 小车质量 1.096 Kg
m 摆杆质量 0.109 Kg
b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数： （2.21）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： （2.22）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： （2.23）
以外界作用力作为输入的系统状态方程： （2.24）
以小车加速度作为输入的系统状态方程： （2.25）
2.2 倒立摆系统的定性分析
在得到倒立摆系统的实际模型后，就可以运用控制理论的相关知识对其稳定性和能控能观性进行分析。
式2.25可以写成如下通式：其中：
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