MATLAB一级倒立摆的二次最优控制系统设计仿真(6)
定理1（稳定性判据）：
Lyapunov第一法：对于线性定常系统， 有：
(1) 系统的每一平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的充分必要条件是：A的所有特征值均具有非负（负或零实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。
(2) 系统的唯一平衡状态 是渐进稳定的充分必要条件是：A的所有特征值具有负实部。
将A的值代入特征方程 ，计算可以得出其特征根为： ，即有两个重特征根在原点，一个特征根在复频域的右半平面，一个特征根在复频域的左半平面，由定理1可知，系统是不稳定的。
定理2（能观性判据）：线性定常连续系统
能观的充分必要条件是能观测性矩阵 满秩，即rank(V)=n。
将A,B,C的值代入能观性矩阵中，得到rank(V)=4，与系统阶数相同，由定理2可知，系统是能观的。
定理3（能控性判据）对于连续时间系统：
系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B, AB,..., An−1B是线性无关的，或 n×n文矩阵[B AB ⋅ ⋅ ⋅ An−1B]的秩为 n。
系统的输出可控性的条件为：当且仅当矩阵[CB CAB CA2B ... CAn 1B D]的秩等于输出向量 y 的文数。
代入A,B,C的值，并在 MATLAB 中计算：可以得到：
可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量文数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的文数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
3 最优控制基本理论
3.1 最优控制简介
最优控制是现代控制理论的核心，所谓最优控制，就是在一定条件下，完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值[10]。这方面的先期工作应该追溯到文纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。1948年文纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。动态规划、最大值理论和变分法是最优控制理论的基本内容和常用方法。动态规划是贝尔曼于二十世纪五十年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。庞特亚金于1956—1958年间创立的最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分和控制理论发展史上的一个里程碑，它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效方法。其中，时间连续系统的最优控制问题的特点是：系统所受控制在连续时间上进行，系统的动态演变按其物理背景以常微分方程表示，而不是用非差分方程表示。它的数值方法可分为直接法（梯度算法，最速下降法，共轭梯度法等）和间接法（牛顿法，微分动态规划等）两大类[2]。
最优控制的实现离不开最优化技术，最优化技术是研究和解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言，用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行：
①根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数；
②对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化方法；
③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。
为了解决最优控制问题，首先必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的取值允许范围，给定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定出判断运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。
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