矩阵的广义逆在线性方程组求解问题中的应用
毕业论文关键词：矩阵广义逆；线性方程组；减号逆；Moore-Penrose逆；相容线性方程组
The applications of the generalized inverse matrices in solving linear equation
Abstract: This paper introduces the concept of the generalized inverses of matrices、the properties of the generalized inverses of matrices and the calculation method to obtain to the generalized inverses of matrices, receiving the general form of several generalized inverses of matrices,such as minus inverse、self-converse generalize inverse、Moore-Penrose inverse, then,we study the problem of solving a system of linear equations. In particular, this paper discusses the application of minus inverse in solving the consistent linear system.
Keywords: generalized inverses of matrices; system of linear equations; minus inverse; Moore-Penrose inverse; consistent linear system
目录
摘要 i
Abstract i
目录 ii
1 绪论 1
1.1 课题的目的和意义 1
1.2 国内外研究现状与发展趋势 1
2 矩阵广义逆的概念与性质 3
2.1 矩阵广义逆的概念 3
2.2 减号逆 3
2.3 自反广义逆 6
2.4 最小范数广义逆 7
2.5 最小二乘广义逆 8
2.6 MOORE-PENROSE逆 8
3 广义逆在求解线性方程组中的应用 10
4 结论 16
致谢 17
参考文献 18
1 绪论
1.1 课题的目的和意义
矩阵广义逆的问题是矩阵理论中比较热门的一个课题，许多专家和学者都对该课题进行了深入的研究[1-10]。广义逆矩阵在最优化理论、数理统计等众多领域中的广泛应用被专家越来越重视，这大大推动了他们对相关问题的深入研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。 线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用，它与行列式、矩阵、二次型、线性变化、向量组的线性相关性以及欧式空间等都有着很密切的联系。
本文在现有的研究结论下，对矩阵的广义逆有进一步地讨论，希望能通过一些矩阵广义逆的一般形式对线性方程组进行求解，以此给出矩阵的广义逆在线性方程组求解问题中的应用。
1.2 国内外研究现状与发展趋势
2 矩阵广义逆的概念与性质
2.1 矩阵广义逆的概念
关于广义逆矩阵的概念是由彭诺斯1955年指出的。对任意复矩阵 ，如果存在另一个复矩阵 ，同时满足
则称X为A的一个Moore-Penrose广义逆，且称上面四个方程为Moore-Penrose方程（或M-P方程）[11]。由于这四个方程应用起来各有不同的作用，所以出于不同的应用，我们给出了如下矩阵广义逆的定义。
定义2.1 设 ，若存在 满足M-P方程中的一个或几个方程，则称X为A的广义逆矩阵。
其中，如果X只满足式(2.1)，则称X为A的减号逆；如果X满足式(2.1)和(2.2)，则称X为A的自反广义逆；如果X只满足式(2.1)和(2.3)，则称X为A的最小范数广义逆；如果X满足式(2.1)和(2.4)，则称X为A的最下二乘广义逆；如果X同时满足四个方程，它就是Moore-Penrose广义逆[12]。
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