1.1 引言

数学归纳法最开始出现时候，很多无限的命题就得到了很好的解决，比如很多和自然数相关的无尽命题。自然数本身是一个无穷无尽的概念，谁也不可能通过枚举法去验证一个和自然数有关的命题，因为这是完全不现实的。一个与自然数n有关的命题当n=1时表示一个命题，当n=2时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽。因此，我们需要用一种能够用一种递推的数学论证方式去证明这些无穷无尽的命题，并且还会证明出全部情况。在整个思维导图中，数学归纳法最让人神奇的就是化无限为有限。

数学归纳法在数学解题中运用很多，像代数恒等式、不等式、三角函数、归纳、第二数学归纳法、分段归纳法等等

1.2 数学归纳法的来源

在数学史上，数学归纳法产生的作用是非常巨大的，在近代数学的贡献中，它就帮助我们很多数学家证明过很多定理，在现在，随着该方法的普及，我们已经很早之前就已经学会用它了。然而，在世界上已知的最早运用数学归纳法思维是意为叫做Maurolico的科学家，在他的研究报告里，成功的用数学归纳法的思想证明了 .

即： 

毕达哥拉斯在证明上面式子中，运用了的递推求出了前n个奇数的和，为数学归纳法确定奠定了很大的基础。甚至在以后很多年后的数学家都收到了非常大的益处。

2  数学归纳法的概述

2.1 归纳法

数学是一门注重理论证明的学科，在很多无尽的问题上，我们在以前没有很好地办法去解决，因为我们不能全部把其中的项枚举出来。

我们很多时候看到好几种归纳法，其实，究其根本，也就是在学术上常说的不完全归纳法；以及我们常常用到的枚举法，但是这里，不叫枚举法，我们叫它完全归纳法。

在不完全归纳法中，我们常常只是取其中的一部分来研究得出结论，这种是无限的，但是由于样本的不完整性，肯定是不能反映事情的全部情况，这样得出的结论只能是经验结论，他没与反映全部项的性质，在以后肯定经不起推敲。

和不完全个归纳法相反的就是完全归纳法，也可课理解成枚举法了，因为我们是对全部项进行检验，把所有的特征属性都找出来，再进得出结论，这种结论是值得推敲的，因为是把所有的全部检验了。

在现实中也常见归纳法的思想，像统计学的开始阶段就是用的归纳法的思想，比如在生活常见的飞机晚点，我们常常看见飞机晚点率，刚开始通过归纳思想，然后就是用正规的统计思想去验证。

2.2 数学归纳法的基本形式——三大步骤

（1） 奠基（起步）：即验证 成立；

起点的奠基作用是十分重要的，对起点以及起点附近的一些命题的考察也非常之多，并且很容易引起我们的忽略。其实花时间在奠基上面，是完全有价值的。因为不仅可以验证 的成立，而且还可以帮助我们发现实现归纳过渡的办法。

（2） 归纳假设：即假设 是成立的；

归纳假设一定要假设好，这是三步骤中很核心的一部，因为以后的步骤都是以这个为理论基础的。并且，有了这个假设，我们就可以把很多无尽的问题给连续在一起，就想我们平时玩多米诺骨牌一样，用数学的眼光看，玩多米诺骨牌就是在骨牌按顺序一个接一个的倒下的过程中，其实是一个连续不间断的过程，并且总是可以从上一步影响到下一步，就是我们常在数学中说的推导过程。在整个连续的过程中，使得人们在验证了 成立之后，只要再在“P(K）”已经成立的假设上基础上，再验证“命题P(K+1)”也成立就行了，这就是说我们只需要往前面走一步就行了，完全不用再考虑到该命题的无限性质。用好了归纳假设，我们在后面的证明过程中会显得格外的省事。并且很多数学归纳法的变型就是根据归纳假设的变化出发的，像第二数学归纳法、双基数学归纳法等等。假设虽然简单，但是有时候还是要随机应变，才能跟家灵活的运用数学归纳法为我们所用。