神经元耦合系统中的同步研究综述(5)
下面我们分别来介绍电突触数学模型和一些描述化学突触的数学模型。
电突触耦合数学模型可以写成：
，
这里 ， 分别表示突触前后膜电位， 表示缝隙电阻，通常称为电突触耦合强度， 是神经元信息传递的时滞。
Rabinovich通过研究神经元的兴奋和抑制的机制和突触延时，建立了具有时滞的化学突触模型，具体的方程形式如下：
，
其中 是耦合强度， 是突触的可逆电位。阶跃函数H考虑了突触阈值 ， 是突触传递时间的延迟，与兴奋性的传递有密切关系。
1996年，Sharp等人基于神经递质在突触缝隙的释放和在后突触神经元内的吸收特点，提出了一个化学突触模型，其模型的具体表达式如下：
其中 是突触的可逆电位，其取值决定于化学耦合式抑制还是兴奋， 是前突触电位， 是后突触神经元的膜电位， 是延迟的时间尺度， 是耦合强度， 是瞬时突触电压， 满足下面规律：
这里 是阈值， 是一个变化斜率，事实上 相当于一个阶跃函数。
Kandel等人提出了一个动态的突触模型，是在考虑了前突触的激发时间和信息传递的时滞所得到的。其模型的变化规律为：
这个模型描述了突触传递对时间的依赖性。其中 表示化学耦合强度， 是突触可逆电位，它依赖于前突触神经元突触传递的种类和接受者，耦合作用是抑制还是兴奋依赖于 的取值，如果 ，则耦合作用是抑制的；若 ，那么耦合作用是兴奋的，其中 是神经元的静息电位， 是电导的时间常数。当第j个神经元的动作电位通过一个规定的阂值时，神经元的动作电位开始激发，从而在时滞 后作用到第i个神经元。作用元素 的变化理解为：当神经元的膜电位通过的阈值的时刻为 时，在 时刻后，每个向量 重新跳回到原来的初值(0，1) 。
然而，最简单刻画神经元化学突触的模型是下面的形式：
，
其中 为耦合强度， 为突触阈值，H是Heaviside阶梯函数， 是神经元信息传递的时滞。在此模型中，当突触前神经元的膜电位超过阈值 时对突触后的神经元产生作用，即输出强度为 的电流使得突触后神经元的膜电位发生变化。如果 ，此时的突出作用为兴奋性化学突触；相反的突触作用为抑制化学突触。
3 单个神经元的动力学性质
神经元Chay模型是生命科学和神经动力学中的一个重要模型，描述了神经元细胞的变化规律，国内外大量文献致力于对它的研究。下面我们主要针对Chay模型，讨论其动力学性质[4]。
3.1 Chay模型的平衡点及其稳定性分析
首先证明平衡点存在的唯一性，并研究其稳定性。
1．平衡点的唯一性
Chay模型(1)～(3)方程组是一个自治系统，不妨假设其平衡点为 ，即满足如下条件：
这里参数取值为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作为变化参数，在15S到30S范围内变化。
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