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时滞区间系统PID控制器设计研究+文献综述(7)
当 < 时:
=
当 时:
当 > 时, ;否则 。其中, , 。
3.3.2 逆Nyquist曲线频率范围选取
实现 可能存在的稳定范围,首先需要确定决定系统稳定性的频率 。对于时滞对象的线性部分,一定存在足够大的 ,当 > 时,时滞对象的线性部分 为单调增加的,所以逆Nyquist曲线 与坐标轴的位置有四种关系如图3.1所示,因此只需找到曲线 与坐标轴最后一个交点所对应的频率 ,然后考虑适当的裕量就能得到 。
图3.1 逆Nyquist图与坐标轴交点 (7)
(8)
令式(7)和式(8)的解分别为 和 ,找到这些解中最大的 ,考虑适当的裕量,取 。
当 < < , ,则取 , 。
当 在一、三象限时,可取 。
例1: ,确定 稳定范围。
图3.2 逆Nyquist曲线图
如图所示:A、B、C、D四条直线把 逆Nyquist曲线划分为若干区间,每个区间内 与逆Nyquist曲线交点数目是不变的。通过观察 可以发现,在直线A与直线C之间的区域, 与逆Nyquist曲线交点数最多,为3个。故可判断 稳定范围为:(-0.2,0.2092)。
特殊情况讨论:
例2: ,确定 稳定范围。
图3.3 逆Nyquist曲线图
在此例中, 稳定区域为(-0.09798,0.1113 ),但不包含“断点” ;在 时,交点数只有一个,因此不符合要求,应排除此点的干扰。
3.4 给定 下 平面的稳定域
当时滞系统式(5)是稳定时,根据引理2, 在 区间恰好有 个实根, 在 区间恰有 个实根 。其中:
令 ,有 ,因此,当 为偶数时, 为偶数;当 为奇数时, 为奇数。令:
将 代入 得:
设 的非负、相异实零点为 < < < < (< ) ,且令 , ;对于 稳定的区间, 必大于或等于 ,有 , 为非负整数 。
文献[9,13,14]表明当 给定时, 平面稳定区域是由一系列直线相交而成的凸多边形;结合式(6)得出这些边界线为:
(9)
其中, 即为式(5)的解,也就是固定 时,负的PID频率特性曲线 和逆Nyquist曲线 交点所对应的频率。
3.4.1 平面稳定范围的确定
由广义Hermite-Biehler定理 ,结合文献[14]有:
引理 4 为保证拟多项式(5)是稳定的,序列 必须满足:
(10)
由引理4可以得到满足式(12)的序列 ,序列 由 个元素 构成,形式为 。
根据序列 可以确定一组线性不等式为:
(11)
由式(11)可知, 表示边界直线 上方为稳定区间,反之下方为稳定区间。由满足式(10)的序列 即可确定 平面的稳定区域。
3.4.2 特殊情况的处理
将 代入式(5),有:
由引理1可知,系统稳定时必有:
有如下结论:当 ,若 ,存在边界线 。
1) 当 > ,若系统稳定,必有 > ,则 ;
2) 当 < ,若系统稳定,必有 < ,则 。
当 :
根据文献[13],可知:
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