非旋转对称相位函数的拟合方法研究+Forbes函数(4)
（2-3）
这些圆锥通常被仅仅由两个参量定义，也就是轴向曲率，c，和圆锥常数，κ。当奇点ρ有时被包含在的和中，这个使得表面不能在这个轴向被解析。同样的，这个附加的极性能够被第二规则给出，但是这个将导致在圆锥与多极性间更大的耦合。（对于标准轴系统的分析，当多极性没有第二规则，轴向半径曲率明显的是 ）。这个方程所表示的曲面也就是我们通常定义为Forbes非球面的曲面。但是这个给定的简单的函数也并不能完全的去描述一个复杂的自由曲面，因此这个剩下的解决方法将在下文中作出介绍。
2.3曲线拟合方法
曲线近似法一般有两种形式，插值及拟合。插值法是指构造一条曲线顺序通过给定的数据点。在某些情况下，测量所得的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。更合理的提出法应是，构造一条曲线，使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称之为对这些数据点进行逼近。插值与逼近统称为拟合。曲线拟合是指用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法，用解析表达式逼近离散数据的一种方法。用超精密测量机测量非球面透镜表面可以得到大量的数据点，在本文介绍的方法中，进行误差评价及像质评价需要根据这些数据点拟合出一条曲线，在一定意义下二最佳”地逼近已知数据点。下面将具体讨论各种曲线拟合的方法，并根据实际需要选取一种最适合的拟合方法。
2.4 Zernike多项式[16-18]
前文我们曾多次提及Zernike多项式，而我们现在进行自由曲面面形的描述也都是基于Zernike多项式的基础上，但是由于上述的两种方法都由于不可避免的误差，所以有一种方法被考虑，使得Zernike多项式拟合这种数学模型能够有更加实用的价值
2.4.1 Zernike多项式的算法原理
Zernike多项式对于光学问题中有关光学波面的拟合精度最高，其本质的原因是Zernike多项式有这样的几个特点。
1)Zernike多项式在单位圆上正交，即：
(2-4)
上式中 和 为Zernike园多项式。当 时， ；当 时， 。
Zernike多项式的正交性使拟合多项式的系数能相互独立，从而避免了系数之间的耦合造成其物理意义的混淆不清。
2)Zernike多项式自身具有旋转对称性，所以求解过程中一般均具有良好的收敛性。
3)Zernike多项式与初级象差有一定的对应关系，并且与光学设计中管用的Seidel象差函数很容易建立起联系，也就是以前为什么光学象差分析中常用到Zernike多项式的原因。
正是由于Zernike多项式具有上述重要的特点，使它成为描述自由曲面面形的拟合函数的出发点。Zernike多项式用极坐标的具体表达为
(2-5)
N为多项式的“阶”，取值为0,1,2，…，l为与阶数n相关的序号，l的值恒与n同奇偶性，切绝对值小于或等于阶数n。
令
这样，将模拟的自由曲面的数学表述函数用Zernike多项式拟合表达为
或 (2-9)
式中， 为Zernike多项式的拟合函数。
如何求出拟合系数 ，即，也就是完成对自由曲面的拟合是整个系统的核心内容，如果不能正确求解出拟合系数 ,随后对光学玻璃表面的所有检测与分析都将无从做起。
2.4.2 Zernike多项式的展开