非旋转对称相位函数的拟合方法研究+Forbes函数(5)
在一般的求解过程中，通常是将Zernike多项式进行展开，使用的方法便是泰勒级数展开的方式，这点内容在下文中将详细叙述。
3自由曲面面形的描述方法
由前文中我们已经知道了自由曲面是一个具有很多优势的这样一个曲面，那么他的描述也就给我们出了一个难题，当然这个问题实际上还是一个数学的问题，所以我们就要从数学函数这个方面来着手，下面就来从我们已经知道的几个方法入手。
3.1最小二乘法
最小二乘法被称为是最简便快捷的一种计算方法，最小二乘法也就是多项式最小二乘法，在Form Talysurf超精密测量仪的误差分析软件中就是以多项式最小二乘拟合法来对测量数据点作拟合得到一条最近似的非球面曲线，并以此曲线找出非球面中心轴后将测量点做旋转平移后再和设计自由曲面进行误差分析。
3.1.1最小二乘法的算法原理
最小二乘拟合是指，对于给定的一组数据 ，要求在给定的函数类 中寻找一个函数
(3-1)
使 满足
(3-2)
这里 是函数类 中任一函数， 是用以表示数据 在拟合中所起作用大小的权。上述寻求近似函数 的方法就成为曲线拟合的最小二乘法，满足关系式(3-2)的解成为上述最小二乘问题的最小二乘解。
可以看出，用最小二乘法解决实际问题的过程包含两个基本环节:
一是确定函数类 ，即确定 所具有的形式。用最小二乘求得的近似函数逼近原来函数的效果与函数类的选取密切相关，但这不是一个单纯的数学问题，还与其他领域的一些专门知识和经验有关。在数学上，通常将数据点 描绘在坐标值上，然后根据这些点的分布规律选择适当的函数类。
二是根据最小二乘原则(3-2)求取最小二乘解 ，即确定其系数 。
1)最小二乘法的求法：
求满足条件(2-5)的最小二乘解 实际上就是要求多元函数 的极小值点 。由多元函数取极值的必要条件
得 (3-3)
即 (3-4)
若引入记号
(3-5)
那么上式可以写成
(3-6)
写成矩阵形式即为
(3-7)
这个方程称为正规方程(或称法方程)。当 线性无关时，正规方程(2-6)的系数行列式不为零，因此存在唯一解 ，并且相应的函数
(3-8)
就是要求的最小二乘解。
2)多项式最小二乘拟合
一般情况下，通常用代数多项式做拟合，取
，即 ，那么相应的正规方程为
(3-9)
此时
称它为数据拟合多项式，上述拟合成为多项式拟合。
一般情况下令 ，设
(3-10)
则(3-4)式可以写成
上面虽然从原则上解决了最小二乘议一下的曲线拟合问题，但在实际计算时，由于n较大时正规方程组往往是病态的，因而给求解工作带来了困难。为此常利用正交函数系来求最小二乘解。
如果函数系 是关于点集 带权 的正交函数系，即满足条件 (3-11)