非旋转对称相位函数的拟合方法研究+Forbes函数(6)
则正规方程(3-7)化为
(3-12)
从而解得
由此可见，在讨论曲线拟合问题时，如果选取函数系 为正交函数系，则求解最小二乘解是毫无困难的。在实际应用中。若选取的函数系为代数多项式系，则可根据给定的节点 及权系数 ，构造出最高项系数为1的正交多项式系 来代替。
事实上，关于点集 及权系数 ，带权 的最高项系数为1的代数多项式系 可用下列递推公式来表示
上述所得的多项式系是关于点集 及权系数 正交的，且最高项系数为1.
3)非线性最小二乘拟合
借助求解非线性方程组的方法中求得所需参数来得到拟合曲线。假设目标函数是平方和形式
(3-17)
式中x为n文列向量 。
显然，如果 的极小点 满足 ，那么可以认为 是方程组的解。函数 一般是非线性的，假设有连续的一阶偏导数：
(3-18)
迭代程序如下：
(1)选择一初始点
(2)算出
称为初始值 的校正量。又
则 为 的极小点的首次近似
(4)以 代替前面的 ， 代替 ，重复上述计算过程，直到
3.1.2最小二乘法的实现
在上述方法中我们可以看到最小二乘拟合实际上是一个近似拟合的过程，在自由曲面的拟合过程中并不能将原本的自由曲面线性方程直径应用最小二乘拟合计算自由曲面参数，所以理论上是通过将令 ，则其在 即 处按泰勒级数展开可得
(3-21)
将这个式子带入(2-2)中后可得
(3-22)
使(2-2)可以表示为
这个就可以基于Matlab提供的最小二乘拟合函数Isqcurvefit()求解曲面方程的参数。其解决方法是把数据采集点的x，y 坐标转换成p 值，从而得到一个关于p 值的数组。把p、z 数组代入lsqcurvefit( ) 函数即可求得多项式的系数 对比式( 4) 、式( 5) 可求得非球面参数k、c、
3.1.3最小二乘法的应用优缺点
通过Matlab的拟合我们可以清楚的看到，对于一个自由曲面的非线性拟合过程中，在低次系数中，当阶数最高为10的时候，能够清楚的看到非线性拟合误差，随着阶数的上升开始增加，但是在精度要求不是很高的范围还是能够满足要求。
3.2 Gram-Schmidt正交法
Gram-Schmidt正交法同上述的最小二乘法类似，也是基于Zernike多项式的一种数学模型，不同的是，在正交的过程中是使用了Gram-Schmidt正交法。
3.2.1 Gram-Schmidt正交法的算法原理
Zernike多项式的指导思想是将一个任意波面看作由无穷多个基面的线性组合而成，若用前项Zernike多项式来代表波面，则对于n次测量，有
(3-33)
式中 表示第i个测量点上的值， 表示各基面,系数 为相应的权因子。应该指出。 为定义在单位圆上的正交多项式，因而实际光瞳都要经过归一化后方可进行Zernike多项式拟合。
假定波面处在某坐标系中，其中Z为光轴，Y-Z平面为子午面，则 可以表示为波面角坐标与径向坐标的函数
(3-34)
式中r、θ分别为单位圆的半径和与Y轴的夹角，m和n是整数，n是多项式的阶数，m是方向角频率.其满足下列条件
是整数； ； 。
求平均值
由式(3-15)减去式(3-13)，并令 及 ，则有
(3-37)
Zernike多项式仅在连续单位圆上是i1，交的，而在单位圆内和圆外离散点上不是正交的。在实际的应用过程中，所遇到的多是非单位圆离散点的情形.因此，有必要构造在这些点上正交的多项式。