非旋转对称相位函数的拟合方法研究+Forbes函数(7)
因此，按照Gram-Schmidt正交法，以 的线性组合来重构一个在离散点上正交的多项式 ，并使 。该式可用矩阵表示为
(3-38)
和 的正交性可以表示为(3-39)
按照下式来构造 (3-40)
由此类推得 (3-45)
根据式(3-44)，在 时有 ；在 时有 。这样所有系数 均以此求出，这时 即为已知。再用最小二乘法求解 并要求使方差
(3-46)
为最小时系数 的值。令
与(3-18)相比得 (3-26)
据此，可以写出 的代数表达式
(3-27)
至此，Zernike表达式完全求得。
3.2.2 Gram-Schmidt正交法的计算步骤
离散点上波前数据拟合过程：
1)计算 ；
2)在每个点，计算Zernike多项式 ；
3)使 轮换使用公式(3-23)、(3-20)，知道计算出所有系数 及多项式 ；
4)利用公式(3-24),由 ，计算所有系数 ；
5)应用公式(3-27),计算出所有Zernike多项式系数 ；
6)应用公式(3-24)，求出拟合面
3.2.3 Gram-Schmidt正交法的应用优缺点
通过Matlab拟合我们可以发现，虽然Gram-Schmidt正交化方法能够尽量真实的拟合出目标波面，并且能够表现出人为引入的误差，但是仍然不可避免的出现“病态”和“相关”拟合结果我们将在下文具体说明。
4Forbes函数[19-29]
4.1 Forbes函数的提出
上述提到的两种方法，在某种意义上来说已经能够满足目前精度不高的要求，但是，由于科技的迅速发展，随着对于自由曲面面形精度的要求的提高，很显然这两种方法已经不能够再成为一种有效的算法，因此，由Forbes提出了一种新的算法，也就是我现在主要要进行研究的方法Forbes函数。
4.2 Forbes函数的意义
由于现在我们通常使用的两种方法，也就是最小二乘法和Gram-Schmidt正交法都无法在拟合曲面的过程中避免我们已经强调过的“病态”与“相关”那么，我们使用一个什么样的方法能够避免这两种方法的发生呢？从这里我们就想到了从这两种拟合方法的算法过程中着手，因为同样是对于Zernike多项式的使用，但是在拟合的过程中，两种算法都是仅仅对于部分项进行拟合，这个过程中会遇到两个问题，其中一个就是这个过程中最致命的问题，也就是病态的产生，由于Zernike多项式是具有极大相关性的函数，所以，在描述自由曲面的过程中，这两种方法也将产生另外一个问题，那就是算法的效率很低，那么我们能使用什么方法来解决呢，由此提出了Forbes函数。
4.3 Forbes函数的描述方法
4.3.1 Forbes函数的理论基础
即使把我们的注意力全部集中在光阑的大小和几何尺寸（从毫米到米级甚至更高，分别包含圆形，吹冰角形，矩形腰果形……）通过重要的光学技术表面面型单独就能给出丰富的种类。他们的形状范围从日常的形状到半球面和高紧张半球面，从最适球面变为有微小或者巨大 的误差的对称变形面（这个球面是陡峭的或者不是）和对称或者不对称的自由表面。这些非球面形状的特征在这个光学公差水平上原则上是一个直接的挑战。这个会是过于乐观，然而，期待一个单一解决方案是普遍最优的。在Chase和Greynolds的文章的研究中，例如，数量众多的替代在不同的环境中都被考虑。在这里我们重新讨论的是关于普通旋转对称非球面的描述。虽然隐含的，例如 。并且通过参数方法，知道 ，成立的-并且更灵活的参考-这个问题能够通过使用一个特定的参数坐标这个坐标可以使得一个特定参数能够被其它参数表示，从而在光学中得到这个问题的解决。特别是依靠援助的极性坐标，我们可以写为 。对于一个旋转对称面，没有角度可以改变，所以 。每一个在旋转对称系统中的界面在其轴向和净孔径都是指定的，然后 就能够被用来去用它轴向切面来定义表面类型。结果被称为矢状表现形式，并且f通常被称为“凹陷”。传统的方法从而减少了问题的在一个特定领域能够用一个单一变量的方程表述特征。这个能够更适合于普通的目的。