基于FPGA的数字下变频设计+文献综述(5)
2.2.1 Nyquist采样定理
Nyquist采样定理又称为低通采样，适用与基带信号。
Nyquist采样定理：设一个频率带限信号 ，当 时， ，即其频率限制在( ， )内。如果以 的采样频率对 进行等间隔采样，得到时间离散的采样信号 ，则 可以通过它的采样信号 完全恢复。其中，包含在 中的最高频率 通常称为Nyquist频率，用来确定最小的采样频率 ，以保障可以从 的采样信号 中恢复出 。频率 称为Nyquist率。
设采样前的连续信号 的傅里叶变换为 ，则采样后信号 的傅里叶变换 可以表示为
(2.29)
式中， 为采样频率。从式（2.29）可以看出， 是频率 的一个周期函数，它是由 通过平移和幅度缩放得的各频谱分量之和组成的，其中平移 的整数倍并且幅度缩放 。当 时，式（2.29）的右边一项是 的基带部分， 的其他项都是 的频率平移部分。频率范围 称为基带或Nyquist频带。图2.4（a）（b）分别给出了采样前连续时间信号频谱和采样后得到的采样信号频谱。
图2.4 基带模拟信号采样前后的信号频谱
Nyquist采样定理的意义在于：时间上连续的模拟信号可以用时间上离散的采样信号来恢复，为模拟信号的数字化处理奠定了理论基础[9]。
2.2.2 带通信号采样定理
带通信号是指频谱分布在( ， )上的连续时间信号，通常可以通过调制一个低通信号得到。根据Nyquist采样定理，可以用大于两倍的最高频率的采样率对这样一个带通连续时间信号进行采样，即通过保证 来防止混叠。然而，在这种情况下，由于连续时间信号的带通频谱，通过采样得到的离散时间信号的频谱存在间隔，在这些间隔中不存在任何信号分量[ ]。此外，若 很大，则采样率也必须非常大，这就使得后续的信号处理难以进行。带通信号采样定理就为解决上述问题提供了理论依据。带通信号采样定理又称为奈奎斯特第二采样定理，下采样定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号 ，其频率限制在( ， )内，如果其采样率满足
(2.30)
式中，n取能满足 的最大整数（0,1,2,...），则用 进行等间隔采样所得到的信号采样值 能够准确地确定原信号 。
式（2.30）可用带通信号的中心频率 （ ）和频带宽度 （ ）表示为
(2.31)
式中， n取能满足 的最大正整数。当 ， ， 时，取n=0，则 ，即满足Nyquist采样定理，所以Nyquist采样定理可以看成是带通采样定理的特殊情况。
当信号带宽 一定时，为了能用最低的采样频率即两倍带宽（ ）对带通信号进行采样，带通信号的中心频率 必须满足
或 (2.32)
而 ，可以得到 ，即当信号的最高频率为带宽的整数倍时，只需取最低采样速率即两倍带宽对带通信号进行采样。在满足 情况下，设采样前的连续信号 的傅里叶变换为 ，则采样后信号 的傅里叶变换 可以表示为
(2.33)