基于FPGA的数字下变频设计+文献综述(6)
带通信号采样前后示意图如图2.5所示。
图2.5 带通信号频谱与带通信号采样后频谱的关系
需要注意的是，上述采样定理在以下条件下适用：被采样的带通模拟信号只能在一个频带上存在信号，不能在不同的频带上同时存在信号，否则将会发生混叠现象。为了满足上述条件，一般将模拟信号在采样前通过一个带通滤波器进行滤波，得到需要处理的信号，以防止混叠现象的发生。
2.2.3 欠采样与过采样
当有待数字化的模拟输入信号带宽超过了采样频率的一半的采样称为欠采样[ ]。欠采样可以大大降低A/D转换器的采样频率，降低了对后续实时处理的要求。同时通过选择合适的采样频率和中频频率，欠采样可以避免带外谐波和杂散混叠等干扰。在可能的情况下，欠采样率应选择越高越好，使得瞬时采样带宽尽可能的宽，从而增强系统的适应性。
与欠采样相对应，将采样频率高于两倍Nyquist频率（ ）的采样成为过采样。过采样提高了采样率，可以减轻抗混叠滤波器的负担。设被转换模拟信号的最高有效频率分量为 ，而采样频率为 ， 。为了避免产生频谱混叠，通常在采样前将模拟信号先通过抗混叠滤波器进行处理。抗混叠滤波器要求在小于 的频谱范围内，滤波器的增益逼近1，容许信号通过，而在大于 的频率范围内衰减尽可能大，以防采样过程中混叠分量干扰 以下的有效频率分量。 选得越高， 越大，抗混叠滤波器的过渡带越宽，使其更容易实现。
2.3 多速率信号处理理论
由带通采样的定义可知，带通采样属于欠采样。根据2.2.3节的叙述，从实际应用角度来说，带通采样频率越高越好。这样不仅可以降低量化噪声，还可以增强对不同信号的适应性（即宽带采样频率能够适用于窄带信号，采样频率越高能处理的信号范围越广）。但是，带通采样频率的提高会使采样后的数据速率提高，使得后续处理变得困难，所以需要对采样后的数据流进行降速处理。多速率信号处理技术即为数据流降速处理提供了理论依据，其中抽取和内插是多速率信号处理技术的重要理论[ ]。多速率信号处理是指在满足采样定理的条件下，提高或减小信号的采样速率，以满足信号处理的要求[ ]。降低采样率通常采用抽取，提高采样率通常采样内插。
2.3.1 整数倍抽取
整数倍抽取是指将原有离散信号 的采样率降低整数D倍的抽取过程，即
(2.34)
该过程保留了原始信号中第D个样本，去除了两个样本之间的D-1个样本点。设 的离散时间傅里叶变换(DTFT)为 ，则抽取后信号 的DTFT为
(2.35)
根据式（2.35）可知，抽取后信号的频谱 为原始信号频谱 经频移和D倍展宽后频谱的累加结果。抽取前后的频谱图如图2.6（a）（b）所示[ ]。
图2.6 信号抽取前后频谱图
设原有的离散信号 的采样周期为 ，则经过D倍抽取后信号 的采样周期为 ，满足
这时新的采样频率 为
式中， 为原有的采样频率，则原有离散信号的无模糊带宽为 。根据式（2.37），抽取后信号的无模糊带宽变为 。当 含有大于 的频率分量时， 将产生频谱混叠现象，使得 不能从 中恢复小于 的频率分量信号。因此，若对原始信号 的采样频率至少为D倍的Nyquist采样率，即 ，则在D倍抽取后 不会发生混叠现象；否则，将会发生混叠。图2.6（c）给出了抽取后发生混叠现象的频谱图。