基于数字滤波的谱数据的平滑算法的研究与实现(6)
设 （ 为平方可积空间），即能量有限的信号空间),其傅立叶变换为 ,当 满足允许条件(完全重构条件或者恒等微分条件)
时,我们称 为一个基本小波或母小波，将母函数经伸缩和平移后得能量归一化的小波族为：
是由母波 通过尺度a伸缩变换与时间平移 变换得到的自相似函数族,我们称之为小波或者子波。a为尺度因子或伸缩因子， 为平移因子。
一般情况下小波有以下特点：
1. 母波必需满足容许性条件：
2. 波动性一时域振荡性：
3. 能量有限性：
即能量恒等性,进而可对其进行能量归一化
在某些特别应用中， 一般都是进行能量恒等性(进而归一化)但并不是需要特别强
调。
4.时频局域化特征：母波 在时域的持续时间必须是有限的,即是一个小的时间区间，
间区间,最好具有紧支撑性质,进一步要求在频域也应当具有局域化特征。这是小波的重要性质,支撑区间越小的小波局域化能力越强。
5.自相似性：每一个基函数 与母波树形状相似，相互之间形状也相似。 继
承了母波的“基因”， 属于 的子代——小字辈。“自相似”蕴含着“多”的意义。在小波变换的表达式中，具有无穷多的 ， 或 。
小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(即为母小波)，然后将其伸缩和平
移得到一个函数簇(即小波基函数)，以便在一定条件下，任一能量有限的信号可按其函数簇进行时频分解。基函数在时频平面上具有可变的时间频率窗，以适应不同分辨率的需要。由于小波变换可聚焦到信号的任意细节，进而成为傅立叶变换分析信号以来在方法和工具上的一大突破，被称为“数学显微镜"。
小波变换对函数f(t)在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过伸缩因子口和平移因子b来得到的。根据a、b的不同，可以得到小波变换不同时频宽度的信息，从而实现对信号f(t)的局部化分析。而在实际应用中，尤其是在数字信号处理领域里，为了实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数f(t)的积分形式展开为级数和的形式。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解；其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析； 最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。
2.2.4.1 小波算法去噪的基本方法
对特征峰来讲,可以将谱上的统计涨落视为一文信号中的噪声。利用多分辨分析方法提取弱峰实际上就是运用小波分析在消除噪声的同时,又保留住特征峰与统计涨落重叠的那少部分信息,处理的基本步骤是:
1.对信号进行小波分解。选择小波函数并确定小波分解的层次N,对信号进行N层分解。
2.小波分解高频系数的量化处理。
3.一文小波重构。根据小波分解中的低频分解系数和经过量化处理后的高频系数,计算出信号的小波重建。
在以上过程中,最关键的是如何选取小波函数和阈值的量化处理。我们通过对处理效果的比较分析,对此进行了重点研究。
在进行小波分解之前,首要的任务是选取一种适合于本工作的小波。因为对同一问题用不同的小波分析的结果各异。目前主要是根据小波分析处理结果的好坏来优选小波函数。我们依据以下两条原则从matlab提供的四大系列共35种小波中优选出了适于本工作的小波。