Matlab的分数阶控制系统仿真研究(3)
1.4 本文研究的内容
首先，本文先介绍了分数阶微积分的定义（Grunwald-Letnicov定义，Riemann-Liouville定义和Caputo定义），分数阶微积分的性质，分数阶微积分的Laplace变换，分数阶微积
分的Fourier变换，分数阶微分方程的解法（解析解法和数值解法）。
其次，本文介绍了分数阶控制系统基本概念（包括分数阶被控系统和分数阶 控制器）及其描述方法（分数阶微分方程；控制系统的传递函数描述；状态空间描述）。
然后，本文介绍了分数阶 控制器的参数整定方法（主导极点法）,研究了整数阶PID控制器和分数阶 控制器控制性能比较，其中包括基于整数阶被控系统分别用整数阶PID控制器和分数阶 控制器控制的控制性能比较，基于分数阶被控系统分别用整数阶PID控制器和分数阶 控制器控制的控制性能比较。
最后，本文研究了分数阶 控制器的五个参数 ， ， ， ， 对分数阶闭环系统的动态性能以及稳态性能的影响并得出了相应的结论。
2. 分数阶微积分
本章主要介绍分数阶微积分的三种定义（Grunwald-Letnicov定义，Riemann-Liouville定义和Caputo定义），分数阶微积分的性质，分数阶微积分的积分变换（Laplace变换和Fourier变换），分数阶微分方程的解法（解析解法和数值解法），这些分数阶微积分的数学研究成果为分数阶控制理论的发展提供了基础。
2.1分数阶微积分的定义
分数阶微积分的积分和微分为任意阶次，可以是实数甚至复数，它与整数阶微积分相统一，是整数阶微积分的推广。分数阶微积分的定义有三种，分别是Riemann-Liouville定义，Caputo定义，Grunwald-Letnicov定义。
2.1.1 Grunwald-Letnicov定义
Grunwald-Letnicov分数阶微积分定义是分数阶控制中最广泛应用的分数阶微积分定义。该定义如下：
（2.1）
其中，[x]表示x的整数部分，h为计算步长，（ ）为二项式系数，
（2.2）
式(2.1)统一定义了分数阶微分和积分，α>0时，表示分数阶微分，α<0时，表示分数阶积分。
式(2.1)可以从n阶导数（n为整数）的公式推导出。对于充分连续的函数f(t)，n阶导（n为整数）的公式为：
（2.3）
其中，
将其中的n扩展为任意的整数p，当p为负整数-n时， ；将p扩展为任意实数α，得到公式(2.1)。
2.1.2 Riemann-Liouville定义
Riemann-Liouville定义为目前最常用的分数阶微积分定义。
1. Riemann-Liouville分数阶积分的定义
(2.4)
其中，0 <α<1，且α为初值，一般可以假设零初始条件，即令α=0.这时微分记号可以简写为 ， ，Γ(.)为Gamma函数。 左右侧的下标分别表示积分式的下界和上界。
Gamma函数定义为：
q>0 (2.5)
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