Matlab的分数阶控制系统仿真研究(8)
其中，
方程（2.47）拉氏变换：
其中， 为多项式系数。
根据公式(2.45)得到 的拉氏反变换：
（2.50）
根据传递函数(2.41)和(2.48)，得到：
（2.51）
得到G(s)的反拉氏变换：
（2.52）
根据公式(2.51)和(2.50)计算出 。
的单位冲激响应：
根据公式(2.46)和(2.50)，得到 的单位阶跃响应：
（2.53）
同理，根据公式(2.46)，(2.50)，(2.51)可以得到 的单位冲激与单位阶跃响应。
2.5 分数阶微分方程的数值解法
分数阶微分方程的数值解法依然是现代数学家重要的研究课题，在工程应用得更广泛。
2.5.1 分数阶微分方程的时域数值计算
1.分数阶微积分算子的时域近似
根据Grunwald-Letnicov定义(2.1)得到： （2.54）
其中， ， ， ， ，h为计算步长即采样时间。当t不断增大时，n不断增大，计算量越大，(2.54)式需要使用所有的历史数据点，为了提高计算效率，在误差允许的范围内，指定记忆长度，忽略较早的数据点，得到：
其中，L为记忆长度， 。h越小，L越长，利用公式(2.60)近似计算的分数阶微积分的值越精确。
2．分数阶微分方程的数值计算考虑分数阶微分方程(2.40)：
利用式(2.54)近似方程(2.40)中的微分算子，将(2.40)转化为在离散时间序列 上的离散方程：
其中， ， ， 为输入序列。
同样，如果指定微分算子的记忆长度L，可以利用式(2.55)近似方程(2.40)，相应地得到式(2.56)和(2.57)（两式中的 ），最后求出序列 。
2.5.2 分数阶微分方程的Z域数值计算
1.分数阶微积分算子的Z域离散公式
（1）Grunwald-Letnicov或一阶向后差分 （2.58）
其中， 是离散近似算子
（2）二阶向后差分 （2.59）
(3) 三阶向后差分的MacLaurin展开式 (2.60)
(4) Tustin公式 (2.61)
(5) Simpson公式 (2.62)
（6）Al-Alaoui公式
（2.63）
（7） 转换公式
（2.64）
公式(2.64)的重要性在于分数阶微积分算子的离散公式 有些在v>0时的近似效果比在v<0时要好，或者情况相反，所以应用公式(2.64)可以在分数阶微分近似和分数阶积分近似中选择较好近似方法。
（8）连续近似公式的离散化
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