磁悬浮的PID控制系统设计+MATLAB仿真(11)
对于传递函数为：
(3.1)
的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下：
调整时间 ；
最大超调量
根轨迹设计步骤如下
（1）确定闭环期望极点 的位置，由最大超调量
(3.2)
可以得到： ，近似取 。
由 可以得到：
（弧度）
其中 为位于第二象限的极点和0点的连线与实轴负方向的夹角。图3.1性能指标与根轨迹关系图
可以得到： ，于是可以得到期望的闭环极点为：
(2) 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：
(3) 计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：
(3.3)
因此校正装置提供的相角为：
(3.4)
(4) 设计超前校正装置，已知：
对于最大的 值的 角度可由下式计算得到：
(3.5)
所以有：
图3.2磁悬浮根轨迹计算图
按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：
(3.7)
校正后系统的开环传递函数为：
(3.8)
(5) 由幅值条件 ，并设反馈为单位负反馈，所以有 ；
(6) 于是我们得到了系统的校正控制器：
(3.9)
3.1.2根轨迹的MATLAB计算仿真
在MATLAB中编写如下的m文件,对系统进行仿真。
clear;
num=[77.8421];
den=[0.0311 0 -30.5250];
numlead=-23.424; %Controller Zeros
denlead=-48.8648; %Controller Poles
[Z,P,K]=tf2zp(num,den);
Za=[Z;numlead]; %Add Zeros to the GML system
Pa=[p;denlead]; %Add poles to the GML system
[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);
sys=tf(num2,den2);
KK=0.991112 %compensated system
sys2=zpk(Za,Pa,(KK*K));
t=0:0.005:10
rlocus(sys);
T=feedback(sys2,1);
step(T,t); %Reaponse of the Close-loop system
校正后系统的根轨迹如下图所示：
图3.3校正后的根轨迹图
从图中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K就可以稳定系统。