磁悬浮的PID控制系统设计+MATLAB仿真(8)
其中： 为功率放大器的增益，、 为功率放大器的滞后时间常数。在系统实际过程当中，功率放大器的滞后时间常数非常小，对系统影响可以忽略不计。因此可以近似认为功率放大环节仅由一个比例环节构成，其比例系数为 。本系统中传递函数由硬件电路计算得：
(2.20)
2.2.5系统平衡的边界条件
小球处于平衡状态时，其加速度为零，由牛顿第二定律可知小球此时所受合力为零。小球受到向上的电磁力与小球自身的重力相等，即：
(2.21)
2.2.6系统方程的描述
磁悬浮系统方程可以由上面的方程联合描述，现归纳如下：
2.2.7系统模型线性化处理
此磁悬浮系统是一典型的非线性系统，如果我们欲用线性理论来求解此系统，必需首先对其非线性部分进行线性化处理。
（1） 线性化理论基础
实际的物理系统都不是线性的，只不过其非线性的程度有所不同而已，但是，有一些非线性系统在一定条件下或一定范围内可以近似地视为线性的系统，这种有条件地把非线性的数学模型化为线性模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。在建立系统的数学模型的过程中，线性化是一种常见的、有效的方法。
控制系统都有一个额定的工作状态，以及与其相对应的工作点。非线性数学模型线性化的一个基本假定是，变量偏离工作点的偏差量很小。由级数理论可知，若变量在给定的区间各阶导数都存在，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数。当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化的方法称为小偏差法。
对于具有一个自变量的非线性系统，设其输入量为x，输出量为y f (x)，如果在给定工作点 处各阶导数均存在，那么在 附近展开成泰勒级数：
(2.22)
式中的导数 ， ,…均在 x点上计算。如果变量的 变化很小，则可以忽略 的高阶项。于是上式写成
(2.23)
式中上式表明， 与 成正比。
下面研究另外一种非线性系统，它的输出量是两个输入量的函数，因此
(2.24)
为了得到这一非线性系统的线性近似关系，可以将上式在额定工作点 附近展开成泰勒级数。于是方程变成
(2.25)
式中的偏导数均在 上计算。在额定工作点附近，高阶项可以忽略不计。于是在额定工作状态附近，这个非线性系统的线性数学模型可写成
(2.26)
式中