磁悬浮的PID控制系统设计+MATLAB仿真(9)
这里介绍的线性化方法只有在工作状态附近才是正确的。当工作状态的变化范围很大时，线性化方程就不合适了，这时必须使用非线性方程。应当特别注意的是：在分析和设计中采用的具体数学模型只有在一定的工作条件下才能精确地表示实际系统的动态特性， 在其他工作条件下它可能是不精确的。
（2） 系统模型线性化处理
由于电磁系统中的电磁力F和电磁铁中绕组中的瞬时电流i、气隙x间存在着较复杂的非线性关系，若要用线性系统理论进行控制器的设计必须对系统中各个非线性部分进行线性化。此系统有一定的控制范围，所以对系统进行线性化的可能性是存在的，同时实验也证明，在平衡点 对系统进行线性化处理是可行的。利用前面提到的非线性系统线性化方法，我们可以对此系统进行线性化处理。
对式(2.13)作泰勒级数展开，省略高阶项可得
(2.29)
式中 是当磁极与小球间的气隙为 ，平衡电流为 时电磁铁对小球的电磁引力， 且与小球的重力平衡，即：
(2.30)
定义 分别为：
(2.31)
由上两式可知， 为平衡点处电磁力对电流的刚度系数， 为平衡点处电磁力对气隙的刚度系数。
将式(2.30)、(2.31)、和(2.32)代入式(2.29)有：
(2.32)
故完整描述此系统的方程式如下：
(2.33)
2.2.8系统控制模型的建立
本系统在建立模型时，由于输入量直接是电磁铁的控制电流，没有考虑感抗对系统的影响，而从感性元件储能的角度加以分析建模。且假设功率放大器的输出电流与输入电压之间呈严格的线性关系且无延迟。
系统可用下列方称来描述：
(2.34)
拉普拉斯变换后得到：
(2.35)
由边界方程 带入的系统的开环传递函数：
(2.36)
定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压也即控制电压 ，系统对象输出量为所反映出来的输出电压为 (传感器后处理电路输出电压)，则该系统控制对象的模型可写为：
则有开环系统的特性方程为： (2.38)
解得系统系统的开环极点为：
由上所得，取系统状态变量分别为 系统的状态方程如下：
(2.39)
可以看出系统有一个开环极点位于复平面的右半平面，根据系统稳定性判据，即系统所有的开环极点必须位于复平面的左半平面时系统才稳定，所以磁悬浮球系统是本质不稳定的。
由于电磁铁为感性负载，实际上励磁线圈的电感作用将阻止任何时刻电流的突变，实际上电感作用不可忽视。因此电流模型与实际工作状况相比有微小的差别，为了准确分析磁悬浮系统，从另一方面分析电压控制模型也很有意义，这里不再推导分析。